Радиус окружности, описанной около основании правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 корень из 2 см, а апофема – 10 см. Вычислите полную поверхность пирамиды.
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Радиус окружности, описанной около основания пирамиды (окружности описанной вокруг основания) \( R = 3\sqrt{2} \) см
- Апофема пирамиды \( s = 10 \) см
- Нужно найти полную поверхность пирамиды.
Шаг 1. Определение формы основания
Поскольку основание — правильный четырехугольник, то окружность, описанная вокруг основания, делит его на равные части. Радиус описанной окружности для правильного квадрата равен радиусу окружности, вписанной в квадрат, и связан с его стороной.
Для правильного четырёхугольника (квадрата) радиус описанной окружности \( R \) выражается через сторону квадрата \( a \):
\[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \]
Обратно, если известен \( R \), то
\[ a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R \sqrt{2} \]
Подставляем значение:
\[ a = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times 2 = 6 \text{ см} \]
Итак, сторона основания \( a = 6 \text{ см} \).
Шаг 2. Построение модели и определение высоты пирамиды
Пирамида — правильная четырёхугольная, а апофема равна 10 см. Апофема — это высота наклонной боковой грани (треугольника) от вершины до середины основания.
Для правильной пирамиды с основанием в виде квадрата и апофемой \( s \), высота \( h \) пирамиды связана с апофемой, основанием и геометрией.
Обозначим:
- \( h \) — перпендикулярная высота пирамиды
- \( s = 10 \) см — апофема
Боковая граня «треугольная» с основанием — половина стороны квадрата \( a/2 = 3 \) см, и высотой \( s \).
Из треугольника, образованного апофемой, высотой и половиной стороны основания:
\[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 10^2 = h^2 + 3^2 \]
\[ 100 = h^2 + 9 \]
\[ h^2 = 91 \]
\[ h = \sqrt{91} \text{ см} \]
Шаг 3. Нахождение площадь основания
Площадь квадрата:
\[ S_{\text{осн}} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \]
Шаг 4. Нахождение площади боковой поверхности
Боковая поверхность — четыре triangles, каждая с основанием \( a = 6 \) см и высотой, равной боковой высоте, равной апофеме \( s = 10 \) см.
Площадь одного бокового треугольника:
\[ S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \times a \times s = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30 \text{ см}^2 \]
Всего боковых треугольников — 4, их сумма:
\[ S_{\text{бок}} = 4 \times 30 = 120 \text{ см}^2 \]
Шаг 5. Полная поверхность пирамиды
Полная поверхность равна сумме площади основания и боковой поверхности:
\[ S_{\text{итог}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 36 + 120 = \boxed{156 \text{ см}^2} \]
Итог:
Ответ: Полная площадь поверхности пирамиды равна 156 квадратных сантиметров.
