Радиус окружности, описанной около основании правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 корень из 2 см, а апофема – 10 см. Вычислите полную поверхность пирамиды.

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. Дано: - Радиус окружности, описанной около основания пирамиды (окружности описанной вокруг основания) \( R = 3\sqrt{2} \) см - Апофема пирамиды \( s = 10 \) см - Нужно найти полную поверхность пирамиды. --- ### Шаг 1. Определение формы основания Поскольку основание — правильный четырехугольник, то окружность, описанная вокруг основания, делит его на равные части. Радиус описанной окружности для правильного квадрата равен радиусу окружности, вписанной в квадрат, и связан с его стороной. Для правильного четырёхугольника (квадрата) радиус описанной окружности \( R \) выражается через сторону квадрата \( a \): \[ R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \] Обратно, если известен \( R \), то \[ a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R \sqrt{2} \] Подставляем значение: \[ a = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times 2 = 6 \text{ см} \] Итак, сторона основания \( a = 6 \text{ см} \). --- ### Шаг 2. Построение модели и определение высоты пирамиды Пирамида — правильная четырёхугольная, а апофема равна 10 см. Апофема — это высота наклонной боковой грани (треугольника) от вершины до середины основания. Для правильной пирамиды с основанием в виде квадрата и апофемой \( s \), высота \( h \) пирамиды связана с апофемой, основанием и геометрией. Обозначим: - \( h \) — перпендикулярная высота пирамиды - \( s = 10 \) см — апофема Боковая граня «треугольная» с основанием — половина стороны квадрата \( a/2 = 3 \) см, и высотой \( s \). Из треугольника, образованного апофемой, высотой и половиной стороны основания: \[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = h^2 + 3^2 \] \[ 100 = h^2 + 9 \] \[ h^2 = 91 \] \[ h = \sqrt{91} \text{ см} \] --- ### Шаг 3. Нахождение площадь основания Площадь квадрата: \[ S_{\text{осн}} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2 \] ### Шаг 4. Нахождение площади боковой поверхности Боковая поверхность — четыре triangles, каждая с основанием \( a = 6 \) см и высотой, равной боковой высоте, равной апофеме \( s = 10 \) см. Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \times a \times s = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30 \text{ см}^2 \] Всего боковых треугольников — 4, их сумма: \[ S_{\text{бок}} = 4 \times 30 = 120 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 5. Полная поверхность пирамиды Полная поверхность равна сумме площади основания и боковой поверхности: \[ S_{\text{итог}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 36 + 120 = \boxed{156 \text{ см}^2} \] --- ## Итог: **Ответ: Полная площадь поверхности пирамиды равна 156 квадратных сантиметров.**