Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 6 м и 8 м, все боковые ребра равны 9 м. Найдите объем пирамиды.

Рассмотрим задачу по шагам. Нам нужно найти объем пирамиды с основанием в виде прямоугольника и боковыми ребрами, равными 9 м. **Дано:** - Основание — прямоугольник со сторонами 6 м и 8 м. - Все боковые ребра равны 9 м. --- ### Шаг 1. Нарисуем схему и обозначения Обозначим: - \( ABCD \) — основание (прямоугольник). - \( V \) — вершина пирамиды, над основанием. - \( A, B, C, D \) — углы основания. Координаты основания: - \( A = (0, 0, 0) \), - \( B = (8, 0, 0) \), - \( C = (8, 6, 0) \), - \( D = (0, 6, 0) \). Точка \( V \) — вершина пирамиды, и нам нужно найти ее координаты. --- ### Шаг 2. Определим расстояния (боковые ребра) Все боковые ребра: - \( VA = VB = VC = VD = 9 \text{ м} \). Это означает, что точка \( V \) находится на расстоянии 9 м от каждой из вершин основания. --- ### Шаг 3. Найдём координаты \( V \) Пусть \( V = (x, y, z) \). Из условий: \[ |V - A| = 9 \quad \Rightarrow \quad (x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = 81, \] \[ |V - B| = 9 \quad \Rightarrow \quad (x - 8)^2 + (y - 0)^2 + z^2 = 81, \] \[ |V - C| = 9 \quad \Rightarrow \quad (x - 8)^2 + (y - 6)^2 + z^2 = 81, \] \[ |V - D| = 9 \quad \Rightarrow \quad (x - 0)^2 + (y - 6)^2 + z^2 = 81. \] --- ### Шаг 4. Вычислим координаты \( x, y \) Вычитая уравнения, получаем систему: Из первых двух: \[ (x)^2 + y^2 + z^2 = 81, \] \[ (x - 8)^2 + y^2 + z^2 = 81. \] Вычитая: \[ (x - 8)^2 - x^2 = 0, \] \[ x^2 - 16x + 64 - x^2 = 0, \] \[ -16x + 64 = 0, \] \[ x = 4. \] Аналогично, из первых и четвёртых уравнений: \[ x^2 + y^2 + z^2 = 81, \] \[ x^2 + (y - 6)^2 + z^2 = 81, \] Вычитая: \[ (y - 6)^2 - y^2 = 0, \] \[ y^2 - 12 y + 36 - y^2 = 0, \] \[ -12 y + 36 = 0, \] \[ y = 3. \] **Итак,**: \[ x = 4, \quad y = 3. \] --- ### Шаг 5. Найдём \( z \) Подставим в любое уравнение, например, в первое: \[ (4 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + z^2 = 81, \] \[ 16 + 9 + z^2 = 81, \] \[ z^2 = 81 - 25 = 56, \] \[ z = \pm \sqrt{56} = \pm 2 \sqrt{14}. \] Выбираем положительную высоту: \[ z = 2 \sqrt{14} \text{ м}. \] --- ### **Координаты вершины \( V \):** \[ V = (4, 3, 2 \sqrt{14}). \] --- ### Шаг 6. Находим высоту пирамиды Высота \( h \) — это расстояние от вершины \( V \) до плоскости основания (плоскости \( z=0 \)). Так как \( V = (4, 3, 2 \sqrt{14}) \): \[ h = 2 \sqrt{14}. \] --- ### Шаг 7. Площадь основания Площадь прямоугольника: \[ S_{осн} = 6 \times 8 = 48 \text{ м}^2. \] --- ### Шаг 8. Вычисление объема пирамиды Объем пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h, \] \[ V = \frac{1}{3} \times 48 \times 2 \sqrt{14}, \] \[ V = 16 \times 2 \sqrt{14}, \] \[ V = 32 \sqrt{14} \text{ м}^3. \] --- ## Итог: **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Объем пирамиды} = 32 \sqrt{14} \text{ м}^3. \] Это примерно \( 32 \times 3.74 \approx 119.7 \text{ м}^3 \).