39^4
Давайте решим выражение \( 39^4 \) и я подробно объясню каждый шаг.
Шаг 1: Понимание выражения
\( 39^4 \) — это 39, возведённое в четвертую степень, то есть умножение 39 на самого себя 4 раза:
\[
39^4 = 39 \times 39 \times 39 \times 39
\]
Шаг 2: Вычислим через ступенчатое умножение
Начнем по очереди:
- \( 39 \times 39 \)
Для умножения 39 на 39 можно использовать стандартное длинное умножение или разложить число для удобства.
Обозначим:
\[
39 \times 39 = (40 - 1) \times (40 - 1)
\]
Раскроем скобки по формуле разности квадратов:
\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]
Где:
\( a=40, \ b=1 \)
Подставим:
\[
(40 - 1)^2 = 40^2 - 2 \times 40 \times 1 + 1^2 = 1600 - 80 + 1 = 1521
\]
Итак,
\[
39 \times 39 = 1521
\]
Шаг 3: Умножим результат на 39 снова
Теперь найдем:
\[
1521 \times 39
\]
Опять раскроем 39 как \( 40 - 1 \):
\[ 1521 \times (40 - 1) = 1521 \times 40 - 1521 \times 1 \]
Вычисляем отдельно:
- \( 1521 \times 40 \)
- \( 1521 \times 1 \)
Первое умножение:
\[
1521 \times 40 = (1521 \times 4) \times 10
\]
Посчитаем:
\[
1521 \times 4 = (1500 + 21) \times 4 = 1500 \times 4 + 21 \times 4 = 6000 + 84 = 6084
\]
Тогда:
\[
1521 \times 40 = 6084 \times 10 = 60\,840
\]
Второе умножение:
\[
1521 \times 1 = 1521
\]
Итог:
\[
1521 \times 39 = 60\,840 - 1521 = 59\,319
\]
Итак, \(\boxed{39^3 = 59\,319}\).
Шаг 4: Возводим в четвертую степень
Теперь нам нужно умножить это число на 39 ещё раз:
\[
39^4 = 59\,319 \times 39
\]
Опять используем разложение:
\[
59\,319 \times 39 = 59\,319 \times (40 - 1) = 59\,319 \times 40 - 59\,319 \times 1
\]
Вычислим первое:
\[
59\,319 \times 40 = (59\,319 \times 4) \times 10
\]
Посчитаем \( 59\,319 \times 4 \):
- \( 59\,319 \times 4 = (59\,000 + 319) \times 4 = 59\,000 \times 4 + 319 \times 4 = 236\,000 + 1\,276 = 237\,276 \)
Теперь умножим на 10:
\[
237\,276 \times 10 = 2\,372\,760
\]
Второе умножение:
\[
59\,319 \times 1 = 59\,319
\]
Итак:
\[
39^4 = 2\,372\,760 - 59\,319 = 2\,313\,441
\]
Ответ:
\[
\boxed{39^4 = 2\,313\,441}
\]
Если нужно более подробное объяснение какого-либо этапа, я с удовольствием его дополню!
