Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый момент.
Дано:
- Процент сорняков среди семян — 0,02%.
- Общее количество выбранных семян — 10 000.
- Нам нужно найти вероятность того, что среди выбранных семян будет обнаружено ровно 6 сорняков.
Шаг 1. Представление задачи
Вероятность того, что конкретное семя — сорняк, равна:
[
p = 0{,}02% = \frac{0{,}02}{100} = 0{,}0002
]
Общее число испытаний — 10 000 семян.
Ищем вероятность того, что в 10 000 семян ровно 6 окажутся сорняками.
Шаг 2. Модель задачи
Можно использовать биномиальное распределение, так как у нас есть:
- фиксированное число испытаний ( n = 10000 ),
- вероятность успеха в каждом испытании ( p = 0,0002 ),
- ищем вероятность ровно ( k = 6 ) успехов.
Формула биномиального распределения:
[
P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — число сочетаний.
Шаг 3. Подставляем значения
[
P(6) = \binom{10000}{6} (0,0002)^6 (1 - 0,0002)^{9994}
]
Шаг 4. Вычисление и приближения
Вычислять напрямую биномиальный коэффициент и степени очень сложно. Поэтому применим приближения.
Поскольку ( p ) очень малое, а ( n ) большое, разумно использовать закон Пуассона как приближение к биномиальному распределению:
[
X \sim \text{Poisson}(\lambda)
]
где
[
\lambda = n p = 10000 \times 0{,}0002 = 2
]
Это означает, что вероятность того, что в выборке окажется ровно 6 сорняков, приближенно равна вероятности в распределении Пуассона:
[
P(X=6) = \frac{\lambda^6 e^{-\lambda}}{6!}
]
Шаг 5. Вычисляем вероятность по формуле Пуассона
Подставляем ( \lambda = 2 ):
[
P(X=6) = \frac{2^6 e^{-2}}{6!}
]
Рассчитаем поэтапно:
- ( 2^6 = 64 )
- ( e^{-2} \approx 0{,}135335 )
- ( 6! = 720 )
Итого:
[
P \approx \frac{64 \times 0{,}135335}{720} \approx \frac{8.66144}{720} \approx 0.01202
]
или около 1,2%.
Ответ:
Вероятность того, что среди 10 000 семян будет обнаружено ровно 6 сорняков, примерно равна 1,2%.
