Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый момент.
Дано:
- Процент сорняков среди семян — 0,02%.
- Общее количество выбранных семян — 10 000.
- Нам нужно найти вероятность того, что среди выбранных семян будет обнаружено ровно 6 сорняков.
Шаг 1. Представление задачи
Вероятность того, что конкретное семя — сорняк, равна:
\[ p = 0{,}02\% = \frac{0{,}02}{100} = 0{,}0002 \]
Общее число испытаний — 10 000 семян.
Ищем вероятность того, что в 10 000 семян ровно 6 окажутся сорняками.
Шаг 2. Модель задачи
Можно использовать биномиальное распределение, так как у нас есть:
- фиксированное число испытаний \( n = 10000 \),
- вероятность успеха в каждом испытании \( p = 0,0002 \),
- ищем вероятность ровно \( k = 6 \) успехов.
Формула биномиального распределения:
\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( \binom{n}{k} \) — число сочетаний.
Шаг 3. Подставляем значения
\[ P(6) = \binom{10000}{6} (0,0002)^6 (1 - 0,0002)^{9994} \]
Шаг 4. Вычисление и приближения
Вычислять напрямую биномиальный коэффициент и степени очень сложно. Поэтому применим приближения.
Поскольку \( p \) очень малое, а \( n \) большое, разумно использовать закон Пуассона как приближение к биномиальному распределению:
\[ X \sim \text{Poisson}(\lambda) \] где \[ \lambda = n p = 10000 \times 0{,}0002 = 2 \]
Это означает, что вероятность того, что в выборке окажется ровно 6 сорняков, приближенно равна вероятности в распределении Пуассона:
\[ P(X=6) = \frac{\lambda^6 e^{-\lambda}}{6!} \]
Шаг 5. Вычисляем вероятность по формуле Пуассона
Подставляем \( \lambda = 2 \):
\[ P(X=6) = \frac{2^6 e^{-2}}{6!} \]
Рассчитаем поэтапно:
- \( 2^6 = 64 \)
- \( e^{-2} \approx 0{,}135335 \)
- \( 6! = 720 \)
Итого:
\[ P \approx \frac{64 \times 0{,}135335}{720} \approx \frac{8.66144}{720} \approx 0.01202 \]
или около 1,2%.
Ответ:
Вероятность того, что среди 10 000 семян будет обнаружено ровно 6 сорняков, примерно равна 1,2%.
