Давайте разберем каждое задание по порядку и я подготовлю подробные решения и объяснения для каждого.
1. Вариант 3: 100v V - V36 2. Найдите значение выражения — a4.25 1 2
Пояснение:
Похоже, в задании есть опечатки или некорректное форматирование. Попробуем понять задачу:
Может быть, это выражение вида: (a^{4.25} \times 1 \times 2).
Если предположить, что это именно так, и (a) — переменная, тогда решение зависит от значения (a).
2. Найдите значение выражения (- a^{3.11} \times a^{2.14}), при (a = 5)
Решение:
Используем свойство степеней: (a^m \times a^n = a^{m + n}).
[
- a^{3.11} \times a^{2.14} = - a^{3.11 + 2.14} = - a^{5.25}
]
Подставляем (a = 5):
[
Посчитаем степень:
[
5^{5.25} = 5^{5} \times 5^{0.25}
]
- (5^5 = 3125)
- (5^{0.25} = \sqrt[4]{5} \approx 1.495)
Следовательно:
[
5^{5.25} \approx 3125 \times 1.495 \approx 4674.375
]
И окончательный ответ:
[
\boxed{ - 4674.375}
]
3. Найдите значение выражения: (15 - 2 \log_3 243)
Решение:
Обозначим:
(\log_3 243).
Знаем, что (243 = 3^5), значит:
[
\log_3 243 = 5
]
Далее:
[
15 - 2 \times 5 = 15 - 10 = 5
]
Ответ:
(\boxed{5})
4. Найдите значение выражения ( \tan a ), если ( \cos a = -\frac{1}{2} ) и ( \sin a < 0 )
Пояснение:
(\cos a = -\frac{1}{2}), при этом ( \sin a < 0 ), значит (a) находится в третьей или четвертой четверти.
Из основной тригонометрической окружности:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Подставим (\cos a = -\frac{1}{2}):
[
\sin^2 a + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = 1
]
[
\sin^2 a + \frac{1}{4} = 1
]
[
\sin^2 a = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
]
Так как (\sin a < 0), то:
[
\sin a = - \sqrt{\frac{3}{4}} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Теперь можем найти (\tan a):
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{1}{2}} = \frac{- \sqrt{3}/2}{- 1/2} = \frac{- \sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}
]
Ответ:
(\boxed{\sqrt{3}})
5. Найдите корень уравнения (x^2 = 225)
Решение:
[
x^2 = 225
]
[
x = \pm \sqrt{225} = \pm 15
]
Ответ:
(\boxed{x = \pm 15})
6. Решите уравнение: (\log_4 24 + \log_4(2x - 9) = \log_4 72 )
Решение:
Используем свойства логарифмов:
[
\log_4 (24 \times (2x - 9)) = \log_4 72
]
Следовательно:
[
24 \times (2x - 9) = 72
]
Рассмотрим:
[
24 (2x - 9) = 72
]
Делим обе части на 24:
[
2x - 9 = \frac{72}{24} = 3
]
Теперь решим уравнение:
[
2x = 3 + 9 = 12
]
[
x = 6
]
Проверяем, чтобы аргументы логарифмов были положительными:
- (2x - 9 = 2 \times 6 - 9 = 12 - 9 = 3 > 0),
- аргументы логарифмов положительны, условие выполнено.
7. Найдите значение выражения (2 (\sin 222.5^\circ) - \cos 222.5^\circ)
Решение:
Для вычисления используем углы:
[
222.5^\circ = 180^\circ + 42.5^\circ
]
В тригонометрии:
(\sin(180^\circ + \alpha) = - \sin \alpha)
(\cos(180^\circ + \alpha) = - \cos \alpha)
Значит:
[
\sin 222.5^\circ = - \sin 42.5^\circ
]
[
\cos 222.5^\circ = - \cos 42.5^\circ
]
Подставляем в выражение:
[
2 \times (- \sin 42.5^\circ) - (- \cos 42.5^\circ) = -2 \sin 42.5^\circ + \cos 42.5^\circ
]
Ответим так — это тригонометрическое выражение, его можно оставить в виде:
[
\boxed{ - 2 \sin 42.5^\circ + \cos 42.5^\circ }
]
или, чтобы получить числовое значение, воспользоваться калькулятором:
(\sin 42.5^\circ \approx 0.675)
(\cos 42.5^\circ \approx 0.738)
Тогда:
[
-2 \times 0.675 + 0.738 = -1.35 + 0.738 = -0.612
]
Ответ:
(\boxed{-0.612})
8. Решите уравнение (\sqrt{x} + 12 = x)
Решение:
Обозначим: (y = \sqrt{x}). Тогда:
[
y + 12 = y^2
]
Переносим все в одну сторону:
[
y^2 - y - 12 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
[
y = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-12)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2}
]
[
y = \frac{1 \pm 7}{2}
]
Варианты:
- (y = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4)
- (y = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3)
Поскольку (y = \sqrt{x} \ge 0), то отрицательное решение не подходит. Следовательно:
[
\sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16
]
9. Площадь поверхности куба равна 150. Найдите его ребро.
Решение:
Формула площади поверхности куба:
[
S = 6a^2
]
Значит,
[
6a^2 = 150
]
[
a^2 = \frac{150}{6} = 25
]
[
a = \sqrt{25} = 5
]
Ответ:
(\boxed{5})
10. Площадь прямоугольного треугольника равна 96, один из катетов равен 16. Найдите гипотенузу.
Решение:
Обозначим катеты: (a = 16), другой — (b).
Площадь:
[
\frac{1}{2} a b = 96
]
Подставляем (a = 16):
[
\frac{1}{2} \times 16 \times b = 96
]
[
8b = 96
]
[
b = 12
]
Гипотенуза (c):
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20
]
Ответ:
(\boxed{20})
11. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет нечетное число очков.
Решение:
Нечетные числа на кубике: 1, 3, 5.
Количество исходов: 6.
число благоприятных исходов: 3.
Вероятность:
[
P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
12. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
Решение:
Количество способов выбрать 2 выпадения орла из 4 бросков — из комбинаторики:
[
C_4^2 = 6
]
Общее число исходов: (2^4 = 16).
Вероятность ровно 2 орлов:
[
P = \frac{C_4^2}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}
]
Вторая часть: 13. Решите уравнения.
13.1) (\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = - \frac{1}{2})
Пояснение:
Здесь углы в радианах и тригонометрические функции.
Запишем:
[
\sin(2x - \frac{\pi}{2}) = - \frac{1}{2}
]
Используем формулу:
[
\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = - \cos \alpha
]
Значит:
[
- \cos 2x = - \frac{1}{2}
]
[
\cos 2x = \frac{1}{2}
]
Решаем:
[
2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi k
]
(\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}) и ( \frac{5\pi}{3}), потому что косинус равен (\frac{1}{2}) в первой и четвертой четверти:
[
2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k
]
[
x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k
]
13.2) (2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0)
Обозначим (t = \sin x):
[
2 t^2 + 3 t - 2 = 0
]
Решаем квадратное уравнение:
[
t = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4 \times 2 \times (-2)}}{2 \times 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4}
]
[
t = \frac{-3 \pm 5}{4}
]
Варианты:
- (t = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2})
- (t = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2)
Так как (\sin x) не может быть меньше -1 и больше 1, то отрицательный корень (-2) исключается.
Остается:
[
\sin x = \frac{1}{2}
]
Значит, решения:
[
x = \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi k
]
и
[
x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k
]
13.3) (\cos x + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin x = 0)
Рассмотрим уравнение:
[
\cos x + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin x = 0
]
Перенесем:
[
\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{3} \sin x
]
Делим обе части на (\cos x), при условии, что (\cos x \neq 0). Тогда:
[
1 = - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan x
]
[
\tan x = - \frac{3}{\sqrt{3}} = - \sqrt{3}
]
Значит,
[
x = - \frac{\pi}{3} + \pi k
]
или
[
x = \frac{2\pi}{3} + \pi k
]
— это решения уравнения.
Это полный разбор всех задач по порядку. Если потребуется уточнение или решение других заданий — обращайтесь!
