Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, затра тив на покупку 80 р. Глубокая тарелка стоит 8 р., а мелкая 6 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хо-зяйка? Реши эту…
Хозяйка купила глубокие и мелкие тарелки, затра тив на покупку 80 р. Глубокая тарелка стоит 8 р., а мелкая 6 р. Сколько глубоких и сколько мелких тарелок купила хо-зяйка? Реши эту задачу через диофантовое уравнение
Давайте решим задачу paso за шагом, используя диофантово уравнение.
Шаг 1: Запишем условия задачи
Обозначим:
- \( x \) — количество глубоких тарелок
- \( y \) — количество мелких тарелок
Из условия:
- Стоимость одной глубокой тарелки — 8 р.
- Стоимость одной мелкой тарелки — 6 р.
- Общие затраты — 80 р.
Тогда у нас есть уравнение по стоимости:
\[ 8x + 6y = 80 \]
Шаг 2: Упростим уравнение
Чтобы упростить, разделим всё уравнение на 2:
\[ 4x + 3y = 40 \]
Теперь задача сводится к решению уравнения:
\[ 4x + 3y = 40 \]
где \( x, y \) — неотрицательные целые числа.
Шаг 3: Решение диофантового уравнения
Это линейное диофантово уравнение вида:
\[ 4x + 3y = 40 \]
Чтобы найти его решения, выразим \( y \):
\[ 3y = 40 - 4x \]
\[ y = \frac{40 - 4x}{3} \]
Чтобы \( y \) было целым числом, выражение слева должно быть целым, то есть числитель делится на 3:
\[ 40 - 4x \equiv 0 \pmod{3} \]
Рассмотрим по модулю 3:
- \( 40 \equiv 1 \pmod{3} \) (так как 39 — кратно 3, а 40 — на 1 больше)
- \( 4x \equiv 4x \pmod{3} \)
Но \( 4 \equiv 1 \pmod{3} \), значит:
\[ 4x \equiv x \pmod{3} \]
Следовательно:
\[ 1 - x \equiv 0 \pmod{3} \] или \[ x \equiv 1 \pmod{3} \]
Это значит, что \( x \) — число вида:
\[ x = 3k + 1 \], где \( k \ge 0 \).
Шаг 4: Подставим обратно и найдём допустимые \( x, y \)
Подставим \( x = 3k + 1 \):
\[ y = \frac{40 - 4(3k + 1)}{3} = \frac{40 - 12k - 4}{3} = \frac{36 - 12k}{3} = 12 - 4k \]
Теперь условия:
- \( x \ge 0 \Rightarrow 3k + 1 \ge 0 \Rightarrow k \ge 0 \)
- \( y \ge 0 \Rightarrow 12 - 4k \ge 0 \Rightarrow 4k \le 12 \Rightarrow k \le 3 \)
Общий диапазон для \( k \):
\[ 0 \le k \le 3 \]
Проверьм все значения:
для \( k=0 \):
\[ x=1, \quad y=12 \]
для \( k=1 \):
\[ x=4, \quad y=8 \]
для \( k=2 \):
\[ x=7, \quad y=4 \]
для \( k=3 \):
\[ x=10, \quad y=0 \]
Шаг 5: Итоговые решения
Допустимые комбинации:
| \( x \) (глубокие) | \( y \) (мелкие) |
|---|---|
| 1 | 12 |
| 4 | 8 |
| 7 | 4 |
| 10 | 0 |
Ответ:
Хозяйка могла купить:
- 1 глубокую и 12 мелких тарелок, или
- 4 глубоких и 8 мелких, или
- 7 глубоких и 4 мелких, или
- 10 глубоких и 0 мелких.
Все эти варианты соответствуют расходам в 80 рублей.
