Давайте решим задачу paso за шагом, используя диофантово уравнение.
Шаг 1: Запишем условия задачи
Обозначим:
- ( x ) — количество глубоких тарелок
- ( y ) — количество мелких тарелок
Из условия:
- Стоимость одной глубокой тарелки — 8 р.
- Стоимость одной мелкой тарелки — 6 р.
- Общие затраты — 80 р.
Тогда у нас есть уравнение по стоимости:
[ 8x + 6y = 80 ]
Шаг 2: Упростим уравнение
Чтобы упростить, разделим всё уравнение на 2:
[ 4x + 3y = 40 ]
Теперь задача сводится к решению уравнения:
[ 4x + 3y = 40 ]
где ( x, y ) — неотрицательные целые числа.
Шаг 3: Решение диофантового уравнения
Это линейное диофантово уравнение вида:
[ 4x + 3y = 40 ]
Чтобы найти его решения, выразим ( y ):
[ 3y = 40 - 4x ]
[ y = \frac{40 - 4x}{3} ]
Чтобы ( y ) было целым числом, выражение слева должно быть целым, то есть числитель делится на 3:
[ 40 - 4x \equiv 0 \pmod{3} ]
Рассмотрим по модулю 3:
- ( 40 \equiv 1 \pmod{3} ) (так как 39 — кратно 3, а 40 — на 1 больше)
- ( 4x \equiv 4x \pmod{3} )
Но ( 4 \equiv 1 \pmod{3} ), значит:
[ 4x \equiv x \pmod{3} ]
Следовательно:
[ 1 - x \equiv 0 \pmod{3} ]
или
[ x \equiv 1 \pmod{3} ]
Это значит, что ( x ) — число вида:
[ x = 3k + 1 ], где ( k \ge 0 ).
Шаг 4: Подставим обратно и найдём допустимые ( x, y )
Подставим ( x = 3k + 1 ):
[ y = \frac{40 - 4(3k + 1)}{3} = \frac{40 - 12k - 4}{3} = \frac{36 - 12k}{3} = 12 - 4k ]
Теперь условия:
- ( x \ge 0 \Rightarrow 3k + 1 \ge 0 \Rightarrow k \ge 0 )
- ( y \ge 0 \Rightarrow 12 - 4k \ge 0 \Rightarrow 4k \le 12 \Rightarrow k \le 3 )
Общий диапазон для ( k ):
[ 0 \le k \le 3 ]
Проверьм все значения:
для ( k=0 ):
[ x=1, \quad y=12 ]
для ( k=1 ):
[ x=4, \quad y=8 ]
для ( k=2 ):
[ x=7, \quad y=4 ]
для ( k=3 ):
[ x=10, \quad y=0 ]
Шаг 5: Итоговые решения
Допустимые комбинации:
| ( x ) (глубокие) |
( y ) (мелкие) |
| 1 |
12 |
| 4 |
8 |
| 7 |
4 |
| 10 |
0 |
Ответ:
Хозяйка могла купить:
- 1 глубокую и 12 мелких тарелок, или
- 4 глубоких и 8 мелких, или
- 7 глубоких и 4 мелких, или
- 10 глубоких и 0 мелких.
Все эти варианты соответствуют расходам в 80 рублей.
