Работая вместе. Саша, Маша и Паша пропалывают грядку за 144/13 минуты. Если бы грядку пропалывали только Саша и Маша, они бы 72/5 выполнили работу зат минуты, а если бы ту же грядку пропалывали Саша и Паша вдвоем, у них бы на это ушло 144/7 минуты. Сколько времени потребуется Маше и Паше, чтобы прополоть всю грядку вдвоём? Ответ выразите в минутах.

Дано: - Общие затраты времени при работе всеми тремя: \( T_{\text{ВСЕГДА}} = \frac{144}{13} \) минут. - Время работы только Саши и Маши: \( T_{\text{М+М}} = \frac{72}{5} \) минут. - Время работы только Саши и Паши: \( T_{\text{М+П}} = \frac{144}{7} \) минут. Нам нужно найти, сколько времени потребуется Маше и Паше вместе, чтобы прополоть грядку: \[ T_{\text{М+П}}. \] --- ### Шаг 1. Обозначения и скорости работы Обозначим: - \( v_С \) — скорость работы Саши (доля грядки в минуту) - \( v_М \) — скорость работы Маши - \( v_П \) — скорость работы Паши Тогда: - Общая скорость работы всех троих: \[ v_С + v_М + v_П = \frac{1}{T_{\text{ВСЕГДА}}} = \frac{13}{144} \] - Скорость работы Саши и Маши вместе: \[ v_С + v_М = \frac{1}{T_{\text{М+М}}} = \frac{5}{72} \] - Скорость работы Саши и Паши вместе: \[ v_С + v_П = \frac{1}{T_{\text{М+П}}} = \frac{7}{144} \] --- ### Шаг 2. Вывод уравнений Известны три уравнения: 1. \( v_С + v_М + v_П = \frac{13}{144} \) 2. \( v_С + v_М = \frac{5}{72} \) 3. \( v_С + v_П = \frac{7}{144} \) Переходим к вычислению \( v_М \) и \( v_П \): Из уравнения 1 и 2: \[ v_П = (v_С + v_М + v_П) - (v_С + v_М) = \frac{13}{144} - \frac{5}{72} \] Приведем к общему знаменателю: - \( \frac{5}{72} = \frac{10}{144} \). Тогда: \[ v_П = \frac{13}{144} - \frac{10}{144} = \frac{3}{144} = \frac{1}{48} \] Теперь из уравнения 3: \[ v_С + v_П = \frac{7}{144} \] Подставляем \( v_П = \frac{1}{48} = \frac{3}{144} \): \[ v_С + \frac{3}{144} = \frac{7}{144} \Rightarrow v_С = \frac{7}{144} - \frac{3}{144} = \frac{4}{144} = \frac{1}{36} \] Теперь найдем \( v_М \): Из уравнения 2: \[ v_С + v_М = \frac{5}{72} \] Переведем в знаменатель 144: \[ \frac{5}{72} = \frac{10}{144} \] Подставляем \( v_С = \frac{1}{36} = \frac{4}{144} \): \[ \frac{4}{144} + v_М = \frac{10}{144} \] Следовательно: \[ v_М = \frac{10}{144} - \frac{4}{144} = \frac{6}{144} = \frac{1}{24} \] --- ### Шаг 3. Найти время работы Маши и Паши Нам осталось найти \( T_{\text{М+П}} \), то есть время, за которое Машина и Паша совместно выполнят всю работу: \[ v_М + v_П = \frac{1}{T_{\text{М+П}}} \] Подставляем значения: \[ v_М = \frac{1}{24} , \quad v_П = \frac{1}{48} \] Складываем: \[ v_М + v_П = \frac{1}{24} + \frac{1}{48} \] Приведем к общему знаменателю 48: \[ \frac{2}{48} + \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \] Значит, необходимое время: \[ T_{\text{М+П}} = \frac{1}{v_М + v_П} = 16 \text{ минут} \] --- ### **Ответ:** **Маше и Паше потребуется 16 минут, чтобы прополоть грядку вместе.**