Линза с фокусным расстоянием 14 см даёт уменьшенное в 8 раз изображение. Чему равно расстояние от предмета до линзы и расстояние от линзы до изображения

Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.

Дано:

• Фокусное расстояние линзы \(f = 14\,\text{см}\)
• Уменьшение изображения в 8 раз → масштаб изображения \(m = -8\) (минус означает, что изображение перевёрнутое)

Нам нужно найти:

1. Расстояние от предмета до линзы \(d_o\)
2. Расстояние от линзы до изображения \(d_i\)

Шаг 1: Используем формулу увеличения

Масштаб изображения связан с расстояниями формулой: \[ m = \frac{d_i}{d_o} \] Поскольку изображение уменьшено и перевёрнуто, масштаб отрицательный: \[ m = -8 \Rightarrow \frac{d_i}{d_o} = -8 \] Отсюда выразим \(d_i\): \[ d_i = -8 d_o \]

Шаг 2: Используем формулу тонкой линзы

Формула тонкой линзы: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \] Подставим известное \(f=14\,\textсм\) и выражение для \(d_i\): \[ \frac{1}{14} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{-8 d_o} \] Упростим правую часть: \[ \frac{1}{14} = \frac{1}{d_o} - \frac{1}{8 d_o} \] Общий знаменатель \(8 d_o\): \[ \frac{1}{14} = \frac{8}{8 d_o} - \frac{1}{8 d_o} = \frac{8 - 1}{8 d_o} = \frac{7}{8 d_o} \] Теперь выразим \(d_o\): \[ \frac{1}{14} = \frac{7}{8 d_o} \Rightarrow 8 d_o = 14 \times 7 \] \[ 8 d_o = 98 \] \[ d_o = \frac{98}{8} = 12.25\,\text{см} \]

Шаг 3: Найдём \(d_i\)

Используем выражение из шага 1: \[ d_i = -8 d_o = -8 \times 12.25 = -98\,\textсм \]

Ответ:

• Расстояние от предмета до линзы: \(\boxed{12.25\,\text{см}}\)
• Расстояние от линзы до изображения: \(\boxed{-98\,\text{см}}\)

Значение отрицательного \(d_i\) говорит о том, что изображение располагается на той же стороне линзы, что и предмет (в случае дополнительного анализа, это может указывать на виртуальное изображение). В контексте задач по геометрической оптике такие знаки имеют важное значение.

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение — скажите!