Давайте подробно разберём каждое из предложенных равенств, чтобы определить, какое из них верное.
Для этого воспользуемся тригонометрическими формулами преобразования. В основном, нас интересует формула для синуса суммы:
[
\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B
]
- Рассмотрим равенство:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = \sin \alpha
]
Воспользуемся формулой:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = \sin 90^\circ \cos \alpha + \cos 90^\circ \sin \alpha
]
Значения известных тригонометрических функций:
[
\sin 90^\circ = 1,\quad \cos 90^\circ = 0
]
Подставляем:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = 1 \cdot \cos \alpha + 0 \cdot \sin \alpha = \cos \alpha
]
Вывод:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha
]
Это соответствует утверждению, что:
Вариант B: (\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha) — верный.
- Рассмотрим равенство:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = - \sin \alpha
]
Из предыдущих вычислений:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha
]
Значит, для этого равенства верно было бы:
[
\cos \alpha = - \sin \alpha
]
Это не всегда верно. Однако, есть классические тригонометрические тождества:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha
]
Следовательно, равенство с минусом неправильно в общем случае.
- Рассмотрим равенство:
[
a) \sin(90^\circ + \alpha) = \sin \alpha
]
Из предыдущих вычислений:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha
]
Значит, это равенство неверно в общем случае.
- Рассмотрим выражение:
[
6 \sin(90^\circ + \alpha) = - \cos \alpha \cdot r
]
Известно, что:
[
\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha
]
Подставляем вместо (\sin(90^\circ + \alpha)):
[
6 \cos \alpha = - r \cos \alpha
]
Если (\cos \alpha \neq 0), получаем:
[
6 = - r \Rightarrow r = -6
]
Это возможно при конкретном значении (\alpha), а не в общем случае. Поэтому, это равенство зависит от значения (r), не является универсальным тождеством.
Итог
- Верное равенство из предложенных — это:
[
\boxed{\text{B) } \sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha}
]
Это стандартное тригонометрическое тождество.
Если нужно более подробно разобрать каждое равенство или какие-либо дополнительные аспекты — скажите!
