В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐶и боковой стороной, равной 10 см, ∠𝐵 = 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Ответ нейросети
26 мая 2025 06:31
Рассмотрим задачу поэтапно и подробно:
Дано:
- Равнобедренный треугольник ( ABC ) с основанием ( AC ) и боковой стороной, равной 10 см.
- Угловое значение ( \angle B = 120^\circ ).
Задача:
Найти диаметр окружности, описанной около треугольника ( ABC ).
Шаг 1. Визуализация и обозначения
- Треугольник ( ABC ), равнобедренный относительно основания ( AC ).
- Вероятно, ( AB = BC = 10 ) см (боковые стороны).
- ( \angle B = 120^\circ ).
- ( AC ) — основание.
- Нужно найти диаметр окружности, описанной вокруг треугольника, то есть радиус окружности — ( R ), а диаметр — ( 2R ).
Шаг 2. Определение известных элементов
- В равнобедренном треугольнике ( ABC ):
- ( AB = BC = 10 ) см.
- Угол ( \angle B = 120^\circ ).
Шаг 3. Использование формулы для стороны ( AC )
Для нахождения ( AC ) применим теорему косинусов к треугольнику ( ABC ).
Теорема косинусов:
[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos \angle B
]
Подставим значения:
[
AC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \times 10 \times 10 \times \cos 120^\circ
]
Знаем:
[
\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}
]
Следовательно:
[
AC^2 = 100 + 100 - 2 \times 10 \times 10 \times \left(-\frac{1}{2}\right)
]
[
AC^2 = 200 + 200 \times \frac{1}{2}
]
[
AC^2 = 200 + 100 = 300
]
Отсюда:
[
AC = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3} \text{ см}
]
Шаг 4. Нахождение радиуса circumscribed окружности ( R )
Рассмотрим формулу радиуса описанной окружности в произвольном треугольнике:
[ R = \frac{abc}{4S} ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( S ) — его площадь.
Здесь:
- ( a = AB = 10 ),
- ( b = BC = 10 ),
- ( c = AC = 10 \sqrt{3} ).
Нам нужно найти площадь ( S ).
Шаг 5. Нахождение площади ( S )
Можно использовать формулу через сторону и противоположный ей угол:
[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin \angle B ]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \sin 120^\circ
]
Значение:
[
\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Следовательно:
[
S = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}
]
Шаг 6. Расчет радиуса ( R )
Используем формулу:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
подставляя значения:
[
a=10, \quad b=10, \quad c=10\sqrt{3}
]
получаем:
[
R = \frac{10 \times 10 \times 10\sqrt{3}}{4 \times 25 \sqrt{3}} = \frac{1000 \sqrt{3}}{100 \sqrt{3}} = 10
]
Обратите внимание, что ( \sqrt{3} ) сокращается.
Ответ:
Радиус описанной окружности равен ( R = 10 ) см.
Диаметр окружности:
[
D = 2R = 2 \times 10 = 20 \text{ см}
]
Итог:
Диаметр окружности, описанной около треугольника ( ABC ), равен 20 см.
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
