В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐶и боковой стороной, равной 10 см, ∠𝐵 = 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника 𝐴𝐵𝐶.
Рассмотрим задачу поэтапно и подробно:
Дано:
- Равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \) и боковой стороной, равной 10 см.
- Угловое значение \( \angle B = 120^\circ \).
Задача:
Найти диаметр окружности, описанной около треугольника \( ABC \).
Шаг 1. Визуализация и обозначения
- Треугольник \( ABC \), равнобедренный относительно основания \( AC \).
- Вероятно, \( AB = BC = 10 \) см (боковые стороны).
- \( \angle B = 120^\circ \).
- \( AC \) — основание.
- Нужно найти диаметр окружности, описанной вокруг треугольника, то есть радиус окружности — \( R \), а диаметр — \( 2R \).
Шаг 2. Определение известных элементов
- В равнобедренном треугольнике \( ABC \):
- \( AB = BC = 10 \) см.
- Угол \( \angle B = 120^\circ \).
Шаг 3. Использование формулы для стороны \( AC \)
Для нахождения \( AC \) применим теорему косинусов к треугольнику \( ABC \).
Теорема косинусов:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cos \angle B
\]
Подставим значения:
\[
AC^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \times 10 \times 10 \times \cos 120^\circ
\]
Знаем:
\[
\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}
\]
Следовательно:
\[
AC^2 = 100 + 100 - 2 \times 10 \times 10 \times \left(-\frac{1}{2}\right)
\]
\[
AC^2 = 200 + 200 \times \frac{1}{2}
\]
\[
AC^2 = 200 + 100 = 300
\]
Отсюда:
\[
AC = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3} \text{ см}
\]
Шаг 4. Нахождение радиуса circumscribed окружности \( R \)
Рассмотрим формулу радиуса описанной окружности в произвольном треугольнике:
\[ R = \frac{abc}{4S} \] где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( S \) — его площадь.
Здесь:
- \( a = AB = 10 \),
- \( b = BC = 10 \),
- \( c = AC = 10 \sqrt{3} \).
Нам нужно найти площадь \( S \).
Шаг 5. Нахождение площади \( S \)
Можно использовать формулу через сторону и противоположный ей угол:
\[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin \angle B \]
Подставим значения:
\[
S = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \times \sin 120^\circ
\]
Значение:
\[
\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Следовательно:
\[
S = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}
\]
Шаг 6. Расчет радиуса \( R \)
Используем формулу:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
подставляя значения:
\[
a=10, \quad b=10, \quad c=10\sqrt{3}
\]
получаем:
\[
R = \frac{10 \times 10 \times 10\sqrt{3}}{4 \times 25 \sqrt{3}} = \frac{1000 \sqrt{3}}{100 \sqrt{3}} = 10
\]
Обратите внимание, что \( \sqrt{3} \) сокращается.
Ответ:
Радиус описанной окружности равен \( R = 10 \) см.
Диаметр окружности:
\[
D = 2R = 2 \times 10 = 20 \text{ см}
\]
Итог:
Диаметр окружности, описанной около треугольника \( ABC \), равен 20 см.
