Станок-автомат штампует валики. По выборке объема 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков равное 52,1 мм. Найдите с надежностью 0,99 доверительный…
Станок-автомат штампует валики. По выборке объема 100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков равное 52,1 мм. Найдите с надежностью 0,99 доверительный интервал для оценки математического ожидания диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение σ=2 мм. Введите точность оценки δ (целую часть числа от дробной отделяйте запятой).
Давайте решим эту задачу поэтапно, чтобы точно понять, как найти доверительный интервал для математического ожидания при известных дисперсиях.
Дано:
- Объем выборки \( n = 100 \)
- Выборочное среднее \(\bar{x} = 52,1\) мм
- Известное стандартное отклонение \(\sigma = 2\) мм
- Уровень доверия \( 1 - \alpha = 0{,}99 \)
Шаг 1: Найти значение \( z \) для уровня доверия 0,99
Для нормального распределения коэффициент \( z_{\alpha/2} \), который соответствует уровню доверия 0,99, равен примерно 2,576 (по стандартным таблицам).
Шаг 2: Формула доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии
\[ \left( \bar{x} - \delta, \quad \bar{x} + \delta \right), \] где \[ \delta = z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \]
Шаг 3: Подставим числа
\[ \delta = 2{,}576 \times \frac{2}{\sqrt{100}} = 2{,}576 \times \frac{2}{10} = 2{,}576 \times 0{,}2 = 0{,}5152. \]
Итог:
- Точность оценки \(\delta \approx 0{,}52\).
Ответ: 0,52
