По данным выборочного наблюдения известно, что средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет пять минут, при среднем квадратичном отклонении 2 мин., а…

Давайте разберёмся с поставленной задачей пошагово. У нас есть следующая информация:

• Средняя продолжительность разговора: \(\bar{x} = 5\) минут
• Среднее квадратичное отклонение: \(\sigma = 2\) минуты
• Предельная ошибка (погрешность): \(E = 0,3\) минуты
• Вероятность (уровень доверия): \(0,954\)

Задача: определить необходимое количество наблюдений \(n\), чтобы уточнить границы среднего значения с данной вероятностью.

---

Шаг 1: Определение уровня доверия и связанного значения \(z\)

Вероятность 0,954 соответствует уровню доверия около 95.4%. Обычно для таких случаев используют стандартные значения из таблицы распределения нормального закона.

По таблице стандартного нормального распределения:

\[ P(|Z| \leq z) = 0,954 \]

Значение \(z\) (критическое значение) для доверительного уровня 95.4% примерно равно 2,0.

---

Шаг 2: Формула для определения размера выборки

Для определения количества наблюдений \(n\) при известной статистической ошибке \(E\) и уровне доверия применяется следующая формула:

\[ n = \left(\frac{z \sigma}{E}\right)^2 \]

где:

• \(z\) — критическое значение стандартного нормального распределения,
• \(\sigma\) — стандартное отклонение,
• \(E\) — предельная ошибка.

Подставляем значения:

\[ n = \left(\frac{2,0 \times 2}{0,3}\right)^2 \]

---

Шаг 3: Вычисление \(n\)

Вычислим числитель:

\[ 2 \times 2 = 4 \]

Делим на \(0,3\):

\[ \frac{4}{0,3} \approx 13,33 \]

Возводим в квадрат:

\[ n \approx (13,33)^2 \approx 177,8 \]

Округляем до ближайшего целого числа — 178.

---

Ответ 1:

Для уточнения границ средней продолжительности телефонного разговора с уровнем доверия 95,4% необходимо провести примерно 178 наблюдений.

---

Следующий вопрос:

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении продолжительности не превысит 30 секунд?

---

Шаг 4: Информация о новом предельном значении ошибки

Новое предельное значение ошибки:

\[ E' = 30 \text{ секунд} = 0,5 \text{ минут} \]

Нам нужно определить вероятность того, что при определённом размере выборки \(n\) ошибка не превысит 0,5 минуты.

---

Шаг 5: Расчёт вероятности

Обновлённая ошибка связана с выборочным средним \(\bar{x}\). Обычно, при известной популяционной дисперсии, ошибка репрезентативности выражается как:

\[ P(|\bar{x} - \mu| \leq E') \]

При этом, поскольку известна дисперсия \(\sigma^2\), ошибка в пределах:

\[ E' = z' \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

где \(z'\) — новый критический уровень по нормальному распределению, соответствующий вероятности, которую мы ищем.

---

Шаг 6: Выразим вероятность через стандартное нормальное распределение

\[ z' = \frac{E'}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{0,5}{2 / \sqrt{n}} \]

Из этого:

\[ z' = 0,5 \times \frac{\sqrt{n}}{2} = \frac{0,5 \sqrt{n}}{2} = 0,25 \sqrt{n} \]

Для подтверждения, что вероятность ошибки не превысит 0,5 минут, нужно определить \(z'\) и соответствующую вероятность.

Итог

Вероятность тому, что ошибка репрезентативности не превысит 0,5 минут, равна:

\[ P(|\bar{x} - \mu| \leq 0,5) = 2 \Phi(z') -1 \]

где \(\Phi(z')\) — функция стандартного нормального распределения.

---

Подводим итог:

Чтобы вычислить эту вероятность, нужно знать начальное число наблюдений \(n\). Если предположить, что у нас уже есть \(n=178\), то:

\[ z' = 0,25 \times \sqrt{178} \approx 0,25 \times 13,34 \approx 3,34 \]

Теперь посмотрим значение \(\Phi(3,34)\). По таблице:

\[ \Phi(3,34) \approx 0,9996 \]

Следовательно, вероятность:

\[ P \approx 2 \times 0,9996 - 1 = 0,9992 \]

или около 99,92%.

---

Итог:

Если количество наблюдений составляет примерно 178, то вероятность, что ошибка не превысит 30 секунд, примерно равна 99,9%.

---

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более точное уточнение, скажите!