Давайте разберёмся с поставленной задачей пошагово. У нас есть следующая информация:
- Средняя продолжительность разговора: (\bar{x} = 5) минут
- Среднее квадратичное отклонение: (\sigma = 2) минуты
- Предельная ошибка (погрешность): (E = 0,3) минуты
- Вероятность (уровень доверия): (0,954)
Задача: определить необходимое количество наблюдений (n), чтобы уточнить границы среднего значения с данной вероятностью.
Шаг 1: Определение уровня доверия и связанного значения (z)
Вероятность 0,954 соответствует уровню доверия около 95.4%. Обычно для таких случаев используют стандартные значения из таблицы распределения нормального закона.
По таблице стандартного нормального распределения:
[
P(|Z| \leq z) = 0,954
]
Значение (z) (критическое значение) для доверительного уровня 95.4% примерно равно 2,0.
Шаг 2: Формула для определения размера выборки
Для определения количества наблюдений (n) при известной статистической ошибке (E) и уровне доверия применяется следующая формула:
[
n = \left(\frac{z \sigma}{E}\right)^2
]
где:
- (z) — критическое значение стандартного нормального распределения,
- (\sigma) — стандартное отклонение,
- (E) — предельная ошибка.
Подставляем значения:
[
n = \left(\frac{2,0 \times 2}{0,3}\right)^2
]
Шаг 3: Вычисление (n)
Вычислим числитель:
[
2 \times 2 = 4
]
Делим на (0,3):
[
\frac{4}{0,3} \approx 13,33
]
Возводим в квадрат:
[
n \approx (13,33)^2 \approx 177,8
]
Округляем до ближайшего целого числа — 178.
Ответ 1:
Для уточнения границ средней продолжительности телефонного разговора с уровнем доверия 95,4% необходимо провести примерно 178 наблюдений.
Следующий вопрос:
Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении продолжительности не превысит 30 секунд?
Шаг 4: Информация о новом предельном значении ошибки
Новое предельное значение ошибки:
[
E' = 30 \text{ секунд} = 0,5 \text{ минут}
]
Нам нужно определить вероятность того, что при определённом размере выборки (n) ошибка не превысит 0,5 минуты.
Шаг 5: Расчёт вероятности
Обновлённая ошибка связана с выборочным средним (\bar{x}). Обычно, при известной популяционной дисперсии, ошибка репрезентативности выражается как:
[
P(|\bar{x} - \mu| \leq E')
]
При этом, поскольку известна дисперсия (\sigma^2), ошибка в пределах:
[
E' = z' \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
]
где (z') — новый критический уровень по нормальному распределению, соответствующий вероятности, которую мы ищем.
Шаг 6: Выразим вероятность через стандартное нормальное распределение
[
z' = \frac{E'}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{0,5}{2 / \sqrt{n}}
]
Из этого:
[
z' = 0,5 \times \frac{\sqrt{n}}{2} = \frac{0,5 \sqrt{n}}{2} = 0,25 \sqrt{n}
]
Для подтверждения, что вероятность ошибки не превысит 0,5 минут, нужно определить (z') и соответствующую вероятность.
Итог
Вероятность тому, что ошибка репрезентативности не превысит 0,5 минут, равна:
[
P(|\bar{x} - \mu| \leq 0,5) = 2 \Phi(z') -1
]
где (\Phi(z')) — функция стандартного нормального распределения.
Подводим итог:
Чтобы вычислить эту вероятность, нужно знать начальное число наблюдений (n). Если предположить, что у нас уже есть (n=178), то:
[
z' = 0,25 \times \sqrt{178} \approx 0,25 \times 13,34 \approx 3,34
]
Теперь посмотрим значение (\Phi(3,34)). По таблице:
[
\Phi(3,34) \approx 0,9996
]
Следовательно, вероятность:
[
P \approx 2 \times 0,9996 - 1 = 0,9992
]
или около 99,92%.
Итог:
Если количество наблюдений составляет примерно 178, то вероятность, что ошибка не превысит 30 секунд, примерно равна 99,9%.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно более точное уточнение, скажите!
