Найдите точку максимума функции у = (5х-6)e-4x-6.

Давайте подробно решим задачу: найти точку максимума функции \( y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \). **Шаг 1. Запишем функцию** \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \] Обратите внимание, что \( e^{-4x - 6} \) — это экспоненциальная функция, а \( (5x - 6) \) — линейная. Этот вид функции часто называют произведением линейной функции на экспоненту. --- **Шаг 2. Найдём производную функции \( y' \)** Чтобы найти экстремумы (максимум или минимум), нужно найти точки, в которых производная равна нулю, и проверить знак второй производной или использовать критерий. **Используем правило произведения для дифференцирования:** \[ y = u \cdot v, \] где \[ u = 5x - 6,\] \[ v = e^{-4x - 6}.\] Тогда: \[ y' = u' v + u v'. \] **Посчитаем \( u' \):** \[ u' = 5. \] **Посчитаем \( v' \):** \[ v = e^{-4x - 6}. \] Дифференцируем по \( x \): \[ v' = e^{-4x - 6} \cdot (-4) = -4 e^{-4x - 6}. \] --- **Шаг 3. Запишем производную \( y' \):** \[ y' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4) e^{-4x - 6}. \] Вынесем общий множитель \( e^{-4x - 6} \): \[ y' = e^{-4x - 6} \left( 5 - 4(5x - 6) \right). \] Раскроем скобки внутри: \[ y' = e^{-4x - 6} \left( 5 - 20x + 24 \right). \] Объединим подобные: \[ y' = e^{-4x - 6} \left( 29 - 20x \right). \] --- **Шаг 4. Находим точки стационарности** Вершина — там, где \( y' = 0 \): \[ e^{-4x - 6} (29 - 20x) = 0. \] Экспонента никогда не равна нулю, следовательно, стационарная точка даёт только: \[ 29 - 20x = 0, \] \[ 20x = 29, \] \[ x = \frac{29}{20} = 1.45. \] --- **Шаг 5. Проверка знака второй производной или анализ первой** Чтобы определить, является ли эта точка максимумом, можно: - Исследовать знак \( y' \) слева и справа от \( x=1.45 \). - Или найти вторую производную и проверить её знак. Для простоты возьмём первый метод. **Знак \( y' \):** - Для \( x < 1.45 \): \( 29 - 20x > 0 \), так как \( 29 - 20 \times 1.4 = 29 - 28 = 1 > 0 \). - Для \( x > 1.45 \): \( 29 - 20x < 0 \). Экспонента \( e^{-4x - 6} \) положительна всегда. Значит,: - при \( x < 1.45 \), \( y' > 0 \), - при \( x > 1.45 \), \( y' < 0 \). Это говорит о том, что в точке \( x=1.45 \) происходит переход от возрастания к убыванию — следовательно, это точка максимума. --- **Шаг 6. Находим значение функции в точке** \[ y(1.45) = (5 \times 1.45 - 6) e^{-4 \times 1.45 - 6} \] Вычислим: \[ 5 \times 1.45 = 7.25, \] \[ 7.25 - 6 = 1.25, \] \[ -4 \times 1.45 = -5.8, \] \[ -5.8 - 6 = -11.8. \] Тогда: \[ y(1.45) = 1.25 \times e^{-11.8}. \] Экспонента \( e^{-11.8} \) очень мала, примерно: \[ e^{-11.8} \approx 7.4 \times 10^{-6}. \] Итого: \[ y(1.45) \approx 1.25 \times 7.4 \times 10^{-6} \approx 9.25 \times 10^{-6}. \] --- **Ответ:** **Точка максимума функции:** \[ x = \frac{29}{20} = 1.45, \] и значение функции в этой точке примерно равно \( 9.25 \times 10^{-6} \). Если нужно, могу представить ответ более кратко или в другой форме.