Найдите точку максимума функции у = (5х-6)e-4x-6.
Давайте подробно решим задачу: найти точку максимума функции \( y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \).
Шаг 1. Запишем функцию
\[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \]
Обратите внимание, что \( e^{-4x - 6} \) — это экспоненциальная функция, а \( (5x - 6) \) — линейная. Этот вид функции часто называют произведением линейной функции на экспоненту.
Шаг 2. Найдём производную функции \( y' \)
Чтобы найти экстремумы (максимум или минимум), нужно найти точки, в которых производная равна нулю, и проверить знак второй производной или использовать критерий.
Используем правило произведения для дифференцирования:
\[ y = u \cdot v, \] где \[ u = 5x - 6,\] \[ v = e^{-4x - 6}.\]
Тогда: \[ y' = u' v + u v'. \]
Посчитаем \( u' \): \[ u' = 5. \]
Посчитаем \( v' \):
\[ v = e^{-4x - 6}. \]
Дифференцируем по \( x \):
\[ v' = e^{-4x - 6} \cdot (-4) = -4 e^{-4x - 6}. \]
Шаг 3. Запишем производную \( y' \):
\[ y' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4) e^{-4x - 6}. \]
Вынесем общий множитель \( e^{-4x - 6} \):
\[ y' = e^{-4x - 6} \left( 5 - 4(5x - 6) \right). \]
Раскроем скобки внутри:
\[ y' = e^{-4x - 6} \left( 5 - 20x + 24 \right). \]
Объединим подобные:
\[ y' = e^{-4x - 6} \left( 29 - 20x \right). \]
Шаг 4. Находим точки стационарности
Вершина — там, где \( y' = 0 \):
\[ e^{-4x - 6} (29 - 20x) = 0. \]
Экспонента никогда не равна нулю, следовательно, стационарная точка даёт только:
\[ 29 - 20x = 0, \] \[ 20x = 29, \] \[ x = \frac{29}{20} = 1.45. \]
Шаг 5. Проверка знака второй производной или анализ первой
Чтобы определить, является ли эта точка максимумом, можно:
- Исследовать знак \( y' \) слева и справа от \( x=1.45 \).
- Или найти вторую производную и проверить её знак.
Для простоты возьмём первый метод.
Знак \( y' \):
- Для \( x < 1.45 \):
\( 29 - 20x > 0 \), так как \( 29 - 20 \times 1.4 = 29 - 28 = 1 > 0 \).
- Для \( x > 1.45 \):
\( 29 - 20x < 0 \).
Экспонента \( e^{-4x - 6} \) положительна всегда.
Значит,:
- при \( x < 1.45 \), \( y' > 0 \),
- при \( x > 1.45 \), \( y' < 0 \).
Это говорит о том, что в точке \( x=1.45 \) происходит переход от возрастания к убыванию — следовательно, это точка максимума.
Шаг 6. Находим значение функции в точке
\[ y(1.45) = (5 \times 1.45 - 6) e^{-4 \times 1.45 - 6} \]
Вычислим:
\[ 5 \times 1.45 = 7.25, \] \[ 7.25 - 6 = 1.25, \] \[ -4 \times 1.45 = -5.8, \] \[ -5.8 - 6 = -11.8. \]
Тогда:
\[ y(1.45) = 1.25 \times e^{-11.8}. \]
Экспонента \( e^{-11.8} \) очень мала, примерно:
\[ e^{-11.8} \approx 7.4 \times 10^{-6}. \]
Итого:
\[ y(1.45) \approx 1.25 \times 7.4 \times 10^{-6} \approx 9.25 \times 10^{-6}. \]
Ответ:
Точка максимума функции:
\[ x = \frac{29}{20} = 1.45, \]
и значение функции в этой точке примерно равно \( 9.25 \times 10^{-6} \).
Если нужно, могу представить ответ более кратко или в другой форме.
