Во всех примерах модуля мы рассматривали оценки некоторых характеристик, применимые в тех или иных ситуациях. Вид оценок брался, исходя из общих неформализуемых соображений.…
Во всех примерах модуля мы рассматривали оценки некоторых характеристик, применимые в тех или иных ситуациях. Вид оценок брался, исходя из общих неформализуемых соображений. Возникает естественный вопрос: можно ли предложить общий способ построения оценок, который будет давать хорошие оценки и в случае более сложных характеристик? Рассмотрим один из таких способов, который называется принципом выборочных аналогов. Пусть мы хотим посчитать некоторую характеристику f(ξ1) случайной величины ξ1 . Если бы мы знали распределение ξ1 , то f(ξ1) , и мы бы смогли вычислить. Но это распределение мы не знаем. Идея состоит в том, чтобы вместо случайной величины ξ1 рассмотреть выборочное распределение и соответствующую случайную величину ξ^1 и вычислить f(ξ^1) на его основе. Иными словами, мы ранее научились оценивать распределение, а теперь давайте просто будем использовать эту оценку, как будто это и есть неизвестная случайная величина ξ1 . Стоит отметить, что принцип выборочных аналогов часто даёт хорошие оценки, однако это происходит не всегда. Поэтому свойства полученных оценок необходимо проверять и, при необходимости, модифицировать оценки (например, как в случае с несмещённой оценкой дисперсии из лекции). Построим оценку для Eξ1 с помощью принципа выборочных аналогов для выборки из 10 элементов: 1,3,1,4,1,4,3,1,3,1 . Вопросы-ответы по тексту Вычислите выборочное распределение. P(ξ^1=1)= , P(ξ^1=3)= , P(ξ^1=4)= Вычислите Eξ^1 .Во второй лекции в качестве оценки для Eξ1 рассматривалось среднее арифметическое элементов выборки x¯¯¯ . Сравните эту оценку с оценкой, полученной в прошлом упражнении. В качестве ответа запишите разность x¯¯¯−Eξ^1 . Подумайте, почему вне зависимости от выборки ответ всегда будет таким.
Давайте по шагам разберем задачу и решим её подробно.
Шаг 1. Определение выборочного распределения
У нас есть выборка из 10 элементов:
1, 3, 1, 4, 1, 4, 3, 1, 3, 1
Чтобы найти выборочное распределение оценки ξ^1, нужно определить вероятности для каждого возможного значения ξ^1 равного одной из этих чисел (1, 3, 4).
Вопрос:
P(ξ^1=1) = ?
P(ξ^1=3) = ?
P(ξ^1=4) = ?
Шаг 2. Вычисление вероятности каждого значения ξ^1
Как правило, при использовании принципа выборочных аналогов, оценка вероятности для каждого значения — это относительная частота этого значения в выборке.
- Подсчитаем количество раз, когда встречается каждое число:
| Значение | Количество появлений |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 3 | 3 |
| 4 | 2 |
Общее число элементов — 10.
Следовательно:
\[ P(\xi^1=1) = \frac{5}{10} = 0.5 \] \[ P(\xi^1=3) = \frac{3}{10} = 0.3 \] \[ P(\xi^1=4) = \frac{2}{10} = 0.2 \]
Ответ на первый вопрос:
\[ \boxed{ P(\xi^1=1)=0.5,\quad P(\xi^1=3)=0.3,\quad P(\xi^1=4)=0.2 } \]
Шаг 3. Вычисление оценки Eξ^1
Это — математическое ожидание оценки ξ^1, если бы ξ^1 обладала этим распределением (выборочное распределение):
\[ E \xi^1 = 1 \times P(\xi^1=1) + 3 \times P(\xi^1=3) + 4 \times P(\xi^1=4) \]
Подставим:
\[ E \xi^1 = 1 \times 0.5 + 3 \times 0.3 + 4 \times 0.2 = 0.5 + 0.9 + 0.8 = 2.2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ E\xi^1 = 2.2 } \]
Шаг 4. Вычисление средней выборки \(\bar{x}\)
Среднее арифметическое элементов выборки:
\[ \bar{x} = \frac{1 + 3 + 1 + 4 + 1 + 4 + 3 + 1 + 3 + 1}{10} \]
Посчитаем сумму:
\[ 1 + 3 + 1 + 4 + 1 + 4 + 3 + 1 + 3 + 1 = (1+3+1+4+1+4+3+1+3+1) = 22 \]
Следовательно:
\[ \bar{x} = \frac{22}{10} = 2.2 \]
Шаг 5. Разность \(\bar{x} - E\xi^1\)
Вычитаем:
\[ \bar{x} - E\xi^1 = 2.2 - 2.2 = 0 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \bar{x} - E\xi^1 = 0 } \]
Почему эта разность всегда равна нулю?
В этом конкретном случае, потому что среднее выборочное равно оценке, основанной на выборочном распределении, а оно — натуральная оценка математического ожидания для данного распределения. В более общем случае, если оценки выборочного среднего и оценки по выборочным аналогам являются несмещенными оценками, то их математические ожидания совпадут или, при определенных условиях, разность будет стремиться к нулю по мере увеличения объема выборки.
Если есть еще вопросы — обращайтесь!
