Функция риска — это функция от параметра θ , который нам нужно оценить. Вычислим её на конкретном примере. Допустим, у нас есть монетка, но мы не знаем, честная она или нет, то есть с равной вероятностью она выпадает орлом и решкой или не с равной. Мы хотим оценить параметр θ — вероятность того, что монетка выпадет орлом вверх. Подкинув эту монетку 100 раз, получим выборку x1,…,xn . Естественно считать, что эта выборка порождена случайными величинами ξ1,…,ξn , где величина ξi принимает значение 1 с вероятностью θ , а значение 0 — с вероятностью 1−θ . В качестве оценки θ^n выберем значение x1 . Вычислите функцию риска для этой оценки и функции потерь u(x)=x2 . Rθ^n(θ)=E(u(θ^n−θ))=E(ξ1−θ)2= = θ2+ θ+

Давайте подробно разберемся с задачей. ### Условие задачи: - Есть монета, вероятность выпадения орла — \(\theta\). - Мы делаем \(n = 100\) подбросов. - Каждое испытание моделируется случайной величиной \(\xi_i\), которая равна 1, если выпал орёл, и 0 — если решка. - \(\xi_i\) — это независимые случайные величины с распределением: \(\Pr(\xi_i=1) = \theta\), \(\Pr(\xi_i=0) = 1-\theta\). ### Оценка \(\hat{\theta}_n\): - В качестве оценки выбран наблюдаемый результат первого испытания: \(\hat{\theta}_n = x_1\). ### Требование: - Вычислить функцию риска \( R_\theta(\hat{\theta}_n) \) при помощи функции потерь \( u(x) = x^2 \), то есть: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \mathbb{E}_\theta[(\hat{\theta}_n - \theta)^2] \] Где: - \(\hat{\theta}_n = x_1\) - \(x_1\) — случайная величина, равная 1 или 0, с вероятностью \(\theta\) или \(1-\theta\) соответственно. --- ### Шаг 1: Выражаем риск Поскольку \(\hat{\theta}_n\) — это просто значение \(x_1\), то: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \mathbb{E}_\theta[(x_1 - \theta)^2] \] Поймем, что \(x_1\) — это случайная величина, дискретная, она принимает: - 1 с вероятностью \(\theta\), - 0 с вероятностью \(1 - \theta\). Тогда можно найти \(\mathbb{E}_\theta[(x_1 - \theta)^2]\), вероятностные случаи: --- ### Шаг 2: Расчет риска по полной вероятности Возьмем оба возможных исхода: 1. **Если \(x_1 = 1\):** \[ \Pr(x_1=1) = \theta \] тогда \[ (\hat{\theta}_n - \theta)^2 = (1 - \theta)^2 \] 2. **Если \(x_1=0\):** \[ \Pr(x_1=0) = 1 - \theta \] тогда \[ (\hat{\theta}_n - \theta)^2 = (0 - \theta)^2 = \theta^2 \] --- ### Шаг 3: Итоговая формула Общий риск — это взвешенная сумма из этих двух случаев: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \Pr(x_1=1) \times (1-\theta)^2 + \Pr(x_1=0) \times \theta^2 \] подставим вероятности: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta (1-\theta)^2 + (1-\theta) \theta^2 \] --- ### Шаг 4: Упростим выражение Раскроем скобки: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta (1 - 2\theta + \theta^2) + (1 - \theta) \theta^2 \] \[ = \theta - 2\theta^2 + \theta^3 + \theta^2 - \theta^3 \] Обратите внимание, что \( \theta^3 \) и \( -\theta^3 \) сокращаются, и остается: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta - 2\theta^2 + \theta^2 \] Или: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta - \theta^2 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta (1 - \theta) } \] Это — функция риска оценки \(\hat{\theta}_n = x_1\) при функции потерь \( u(x) = x^2 \). --- Если нужно разобрать подробнее или есть вопросы — обращайтесь!