Функция риска — это функция от параметра θ , который нам нужно оценить. Вычислим её на конкретном примере. Допустим, у нас есть монетка, но мы не знаем, честная она или нет, то…
Функция риска — это функция от параметра θ , который нам нужно оценить. Вычислим её на конкретном примере. Допустим, у нас есть монетка, но мы не знаем, честная она или нет, то есть с равной вероятностью она выпадает орлом и решкой или не с равной. Мы хотим оценить параметр θ — вероятность того, что монетка выпадет орлом вверх. Подкинув эту монетку 100 раз, получим выборку x1,…,xn . Естественно считать, что эта выборка порождена случайными величинами ξ1,…,ξn , где величина ξi принимает значение 1 с вероятностью θ , а значение 0 — с вероятностью 1−θ . В качестве оценки θ^n выберем значение x1 . Вычислите функцию риска для этой оценки и функции потерь u(x)=x2 . Rθ^n(θ)=E(u(θ^n−θ))=E(ξ1−θ)2= = θ2+ θ+
Давайте подробно разберемся с задачей.
Условие задачи:
- Есть монета, вероятность выпадения орла — \(\theta\).
- Мы делаем \(n = 100\) подбросов.
- Каждое испытание моделируется случайной величиной \(\xi_i\), которая равна 1, если выпал орёл, и 0 — если решка.
- \(\xi_i\) — это независимые случайные величины с распределением: \(\Pr(\xi_i=1) = \theta\), \(\Pr(\xi_i=0) = 1-\theta\).
Оценка \(\hat{\theta}_n\):
- В качестве оценки выбран наблюдаемый результат первого испытания: \(\hat{\theta}_n = x_1\).
Требование:
- Вычислить функцию риска \( R_\theta(\hat{\theta}_n) \) при помощи функции потерь \( u(x) = x^2 \), то есть: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \mathbb{E}_\theta[(\hat{\theta}_n - \theta)^2] \]
Где:
- \(\hat{\theta}_n = x_1\)
- \(x_1\) — случайная величина, равная 1 или 0, с вероятностью \(\theta\) или \(1-\theta\) соответственно.
Шаг 1: Выражаем риск
Поскольку \(\hat{\theta}_n\) — это просто значение \(x_1\), то: \[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \mathbb{E}_\theta[(x_1 - \theta)^2] \]
Поймем, что \(x_1\) — это случайная величина, дискретная, она принимает:
- 1 с вероятностью \(\theta\),
- 0 с вероятностью \(1 - \theta\).
Тогда можно найти \(\mathbb{E}_\theta[(x_1 - \theta)^2]\), вероятностные случаи:
Шаг 2: Расчет риска по полной вероятности
Возьмем оба возможных исхода:
- Если \(x_1 = 1\):
\[ \Pr(x_1=1) = \theta \]
тогда
\[ (\hat{\theta}_n - \theta)^2 = (1 - \theta)^2 \]
- Если \(x_1=0\):
\[ \Pr(x_1=0) = 1 - \theta \]
тогда
\[ (\hat{\theta}_n - \theta)^2 = (0 - \theta)^2 = \theta^2 \]
Шаг 3: Итоговая формула
Общий риск — это взвешенная сумма из этих двух случаев:
\[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \Pr(x_1=1) \times (1-\theta)^2 + \Pr(x_1=0) \times \theta^2 \]
подставим вероятности:
\[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta (1-\theta)^2 + (1-\theta) \theta^2 \]
Шаг 4: Упростим выражение
Раскроем скобки:
\[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta (1 - 2\theta + \theta^2) + (1 - \theta) \theta^2 \] \[ = \theta - 2\theta^2 + \theta^3 + \theta^2 - \theta^3 \]
Обратите внимание, что \( \theta^3 \) и \( -\theta^3 \) сокращаются, и остается:
\[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta - 2\theta^2 + \theta^2 \]
Или:
\[ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta - \theta^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ R_\theta(\hat{\theta}_n) = \theta (1 - \theta) } \]
Это — функция риска оценки \(\hat{\theta}_n = x_1\) при функции потерь \( u(x) = x^2 \).
Если нужно разобрать подробнее или есть вопросы — обращайтесь!
