Давайте разберемся с задачей: найти точку максимум функции ( y = (5x - 6) e^{-4x - 6} ).

Давайте подробно разберем задачу поиска точки максимума функции \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \]. Цель — найти такие значения \( x \), при которых функция достигает локального максимума. Для этого необходимо: 1. Найти первую производную функции \( y' \). 2. Приравнять первую производную к нулю и решить уравнение \( y' = 0 \) для поиска критических точек. 3. Проверить знак второй производной или использовать тест на знак первой производной, чтобы определить, является ли критическая точка максимумом. --- ### Шаг 1: Запишем функцию \[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \]. Обозначим \( u = 5x - 6 \) и \( v = e^{-4x - 6} \), тогда: \[ y = u \cdot v \]. --- ### Шаг 2: Найдем первую производную \( y' \). Используем правило произведения: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v'. \] **Находим \( u' \):** \[ u' = \frac{d}{dx} (5x - 6) = 5. \] **Находим \( v' \):** \[ v = e^{-4x - 6}, \] чтобы найти \( v' \), используем цепное правило: \[ v' = e^{-4x - 6} \cdot \frac{d}{dx} (-4x - 6) = e^{-4x - 6} \cdot (-4) = -4 e^{-4x - 6}. \] ***Итак:*** \[ y' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4) e^{-4x - 6}. \] Вынесем общий множитель \( e^{-4x - 6} \): \[ y' = e^{-4x - 6} \left[ 5 - 4 (5x - 6) \right]. \] Раскроем скобки внутри квадратных скобок: \[ 5 - 20x + 24 = (5 + 24) - 20x = 29 - 20x. \] Итак, \[ \boxed{ y' = e^{-4x - 6} (29 - 20x). } \] --- ### Шаг 3: Находим критические точки, приравнивая \( y' \) к нулю. Поскольку экспонента не равна нулю (она всегда положительна), уравнение \( y' = 0 \) сводится к: \[ 29 - 20x = 0. \] Решим это уравнение: \[ 20x = 29, \] \[ x = \frac{29}{20} = 1,45. \] Критическая точка — \( x = 1,45 \). --- ### Шаг 4: Проверка характера критической точки. Для определения, является ли эта точка максимумом, можно воспользоваться **второй производной** или анализом знака первой производной. Рассмотрим знак \( y' \): - Для \( x < 1,45 \), \( 29 - 20x > 0 \), значит \( y' > 0 \). — функция возрастает. - Для \( x > 1,45 \), \( 29 - 20x < 0 \), значит \( y' < 0 \). — функция убывает. Значит, в точке \( x=1,45 \) происходит переход от возрастания к убыванию, следовательно, это точка локального максимума. --- ### Итог: **Точка максимума функции:** \[ x = \frac{29}{20} = 1,45. \] Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x = 1,45 \): \[ y = (5 \cdot 1,45 - 6) e^{-4 \cdot 1,45 - 6}. \] Вычислим: \[ 5 \times 1,45 = 7,25, \] \[ 7,25 - 6 = 1,25, \] \[ -4 \times 1,45 = -5,8, \] \[ -5,8 - 6 = -11,8. \] Итак, \[ y = 1,25 \cdot e^{-11,8}. \] Это и есть значение функции в точке максимума. --- ### Ответ: - **Точка максимум по \( x \):** \(\boxed{x = \frac{29}{20} = 1,45}\). - **Значение функции в этой точке:** \(\boxed{ y \approx 1,25 \cdot e^{-11,8} }\). Если нужно, я могу помочь вам с приближенными числовыми значениями!