Давайте разберемся с задачей: найти точку максимум функции ( y = (5x - 6) e^{-4x - 6} ).
Давайте подробно разберем задачу поиска точки максимума функции
\[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \].
Цель — найти такие значения \( x \), при которых функция достигает локального максимума. Для этого необходимо:
- Найти первую производную функции \( y' \).
- Приравнять первую производную к нулю и решить уравнение \( y' = 0 \) для поиска критических точек.
- Проверить знак второй производной или использовать тест на знак первой производной, чтобы определить, является ли критическая точка максимумом.
Шаг 1: Запишем функцию
\[ y = (5x - 6) e^{-4x - 6} \].
Обозначим \( u = 5x - 6 \) и \( v = e^{-4x - 6} \), тогда:
\[ y = u \cdot v \].
Шаг 2: Найдем первую производную \( y' \).
Используем правило произведения:
\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v'. \]
Находим \( u' \):
\[ u' = \frac{d}{dx} (5x - 6) = 5. \]
Находим \( v' \):
\[ v = e^{-4x - 6}, \]
чтобы найти \( v' \), используем цепное правило:
\[ v' = e^{-4x - 6} \cdot \frac{d}{dx} (-4x - 6) = e^{-4x - 6} \cdot (-4) = -4 e^{-4x - 6}. \]
Итак:
\[ y' = 5 \cdot e^{-4x - 6} + (5x - 6) \cdot (-4) e^{-4x - 6}. \]
Вынесем общий множитель \( e^{-4x - 6} \):
\[ y' = e^{-4x - 6} \left[ 5 - 4 (5x - 6) \right]. \]
Раскроем скобки внутри квадратных скобок:
\[ 5 - 20x + 24 = (5 + 24) - 20x = 29 - 20x. \]
Итак,
\[ \boxed{ y' = e^{-4x - 6} (29 - 20x). } \]
Шаг 3: Находим критические точки, приравнивая \( y' \) к нулю.
Поскольку экспонента не равна нулю (она всегда положительна), уравнение \( y' = 0 \) сводится к:
\[ 29 - 20x = 0. \]
Решим это уравнение:
\[ 20x = 29, \] \[ x = \frac{29}{20} = 1,45. \]
Критическая точка — \( x = 1,45 \).
Шаг 4: Проверка характера критической точки.
Для определения, является ли эта точка максимумом, можно воспользоваться второй производной или анализом знака первой производной.
Рассмотрим знак \( y' \):
- Для \( x < 1,45 \), \( 29 - 20x > 0 \), значит \( y' > 0 \). — функция возрастает.
- Для \( x > 1,45 \), \( 29 - 20x < 0 \), значит \( y' < 0 \). — функция убывает.
Значит, в точке \( x=1,45 \) происходит переход от возрастания к убыванию, следовательно, это точка локального максимума.
Итог:
Точка максимума функции:
\[ x = \frac{29}{20} = 1,45. \]
Чтобы найти значение функции в этой точке, подставим \( x = 1,45 \):
\[ y = (5 \cdot 1,45 - 6) e^{-4 \cdot 1,45 - 6}. \]
Вычислим:
\[ 5 \times 1,45 = 7,25, \]
\[ 7,25 - 6 = 1,25, \]
\[ -4 \times 1,45 = -5,8, \]
\[ -5,8 - 6 = -11,8. \]
Итак,
\[ y = 1,25 \cdot e^{-11,8}. \]
Это и есть значение функции в точке максимума.
Ответ:
- Точка максимум по \( x \): \(\boxed{x = \frac{29}{20} = 1,45}\).
- Значение функции в этой точке: \(\boxed{ y \approx 1,25 \cdot e^{-11,8} }\).
Если нужно, я могу помочь вам с приближенными числовыми значениями!
