Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число n , удовлетворяющее условию 297 ≤ n ≤ 549 делится на 69 .

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти вероятность того, что число n в диапазоне 297 ≤ n ≤ 549 делится на 69.

Шаг 1. Определение диапазона чисел

Нас интересуют все натуральные числа n, такие что: \[ 297 \leq n \leq 549 \]

Шаг 2. Определение условий делимости

Нас интересуют числа, которые делятся на 69, то есть числа n такие, что: \[ n \equiv 0 \pmod{69} \] или, говоря проще, n — кратны 69.

Шаг 3. Поиск первых и последних кратных на диапазоне

Чтобы найти все кратные 69 в диапазоне, определим первые и последние такие числа.

Первое кратное 69, не меньшее 297:

Для этого делим 297 на 69: \[ 297 \div 69 \approx 4.3 \] Значит, следующее после 4 — это 5.

Находим число: \[ 69 \times 4 = 276 \quad (\text{меньше 297}) \] \[ 69 \times 5 = 345 \quad (\text{больше или равно 297}) \] Следовательно, первое кратное в диапазоне: \[ n_{\text{начала}} = 345 \]

Последнее кратное 69, не большее 549:

Делим 549 на 69: \[ 549 \div 69 \approx 7.97 \] Округлим вниз: \[ \lfloor 7.97 \rfloor = 7 \] Находим число: \[ 69 \times 7 = 483 \] Следующее: \[ 69 \times 8 = 552 \quad (\text{превышает 549}) \] Значит, последнее кратное не больше 549: \[ n_{\text{конца}} = 483 \]

Шаг 4. Подсчет количества кратных в диапазоне

Кратные 69 в диапазоне — это числа, вида: \[ 69 \times k, \quad k \text{ — целое число} \] где: \[ k \text{ начинается с } 5 \quad (\text{для } 345 = 69 \times 5) \] и: \[ k \text{ заканчивается на } 7 \quad (\text{для } 483 = 69 \times 7) \]

Нам нужно посчитать количество таких k: \[ k = 5, 6, 7 \] то есть, всего: \[ \text{Количество} = 7 - 5 + 1 = 3 \]

Кратные числа — это 345, 414 (69×6), 483 (69×7).

Шаг 5. Общее количество чисел в диапазоне

Общее количество чисел от 297 до 549 включительно: \[ 549 - 297 + 1 = 253 \]

Шаг 6. Нахождение вероятности

Вероятность того, что случайно выбранное число из этого диапазона делится на 69: \[ P = \frac{\text{число кратных 69 в диапазоне}}{\text{общее число в диапазоне}} = \frac{3}{253} \]

Итог:

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{3}{253} } \]

Это и есть искомая вероятность.