Задача: Найти радиус шара, описанного около куба со стороной ( a ).
Пояснение:
- Шар описан около куба, значит, он касается всех его вершин.
- В этом случае, центр шара будет находиться в точке, которая является центром куба.
- Радиус шара — это расстояние от центра куба до любой вершины.
Шаг 1: Найти координаты центра куба
Пусть куб расположен так, что его вершины имеют координаты от 0 до ( a ). Тогда центр куба находится по координате в середине:
[
\text{центр} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right).
]
Шаг 2: Найти расстояние от центра до вершины
Рассмотрим вершину, например, ( (a, a, a) ). Расстояние от центра до этой вершины по формуле:
[
r = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(a - \frac{a}{2}\right)^2}.
]
Это равно:
[
r = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{3 \times \left(\frac{a^2}{4}\right)} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}.
]
Шаг 3: Упростить
[
r = \frac{a}{2} \sqrt{3}.
]
Итог:
Радиус шара, описанного около куба со стороной ( a ), равен:
[
\boxed{
r = \frac{a}{2} \sqrt{3}
}
]
Если есть еще вопросы — спрашивайте!
