От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 135 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через часа после этого следом за ним, со скоростью на км/ч…

Давайте обозначим:

• скорость первого теплохода — \( v \) км/ч,
• скорость второго теплохода — \( v + k \) км/ч, где \( k \) — разница в скоростях.

Из условия известно:

• Расстояние между пристанями — 135 км.
• Второй теплоход отправился через \( t_0 \) часов после первого.
• Время в пути первого теплохода — \( T_1 \).
• Время в пути второго теплохода — \( T_2 \).

Так как оба прибыла одновременно, то: \[ T_1 = T_2 \]

Время в пути первого теплохода: \[ T_1 = \frac{135}{v} \]

Время в пути второго теплохода: \[ T_2 = \frac{135}{v + k} \]

Так как второй отправился с задержкой \( t_0 \): \[ T_2 = T_1 - t_0 \]

Заметим, что задержка — 1 час (по условию: "через часа после этого") — это 1 час.

Тогда: \[ T_2 = T_1 - 1 \] \[ \frac{135}{v + k} = \frac{135}{v} - 1 \]

Приведем к общему виду: \[ \frac{135}{v + k} = \frac{135 - v}{v} \]

Перемножим крест-накрест: \[ 135 v = (135 - v)(v + k) \]

Раскроем скобки: \[ 135 v = (135 v + 135 k - v^2 - v k) \]

Перенесем все в одну сторону: \[ 135 v - 135 v - 135 k + v^2 + v k = 0 \]

Упростим: \[ v^2 + v k - 135 k = 0 \]

Выразим \( v \): \[ v^2 + (k) v - 135 k = 0 \]

Это квадратичное уравнение относительно \( v \):

\[ v^2 + k v - 135 k = 0 \]

Известно, что \( v > 0 \) и \( k > 0 \).

Чтобы найти \( v \), решим уравнение. Но поскольку мы ищем \( k \), то заметим, что при решении уравнения \( v \) будет зависеть от \( k \).

Впрочем, более удобно подставить \( v \).

Также заметим, что расстояние в 135 км — покрыто обоими теплоходами за одинаковое время, причём второй начал позже на 1 час, поэтому:

\[ \frac{135}{v} = T_1 \] \[ T_2 = T_1 - 1 \] \[ \Rightarrow \frac{135}{v + k} = \frac{135}{v} - 1 \]

И уже получили выражение:

\[ \frac{135}{v + k} = \frac{135 - v}{v} \]

Перепишем это выражение: \[ \frac{135}{v + k} = \frac{135 - v}{v} \]

Пусть \( S = \frac{135 - v}{v} \):

\[ \frac{135}{v + k} = S \] \[ 135 = S (v + k) \] \[ 135 = \frac{135 - v}{v} (v + k) \]

Рассмотрим \( v \) как переменную, тогда: \[ \frac{135 - v}{v} (v + k) = 135 \]

Распишем: \[ (135 - v) \frac{v + k}{v} = 135 \] \[ (135 - v) \left( 1 + \frac{k}{v} \right) = 135 \]

Раскроем скобки: \[ (135 - v) + (135 - v) \frac{k}{v} = 135 \]

Обозначим \( A = 135 - v \): \[ A + A \frac{k}{v} = 135 \]

Здесь очевидно, что \( v = 135 - A \). Тогда:

\[ A + A \frac{k}{135 - A} = 135 \] \[ A \left( 1 + \frac{k}{135 - A} \right) = 135 \] \[ A \frac{135 - A + k}{135 - A} = 135 \]

Перенесем: \[ A (135 - A + k) = 135 (135 - A) \]

Раскроем: \[ A (135 - A + k) = 18225 - 135A \]

Распишем левую часть: \[ A \times 135 - A^2 + A k = 18225 - 135A \]

Перенесем все в одну сторону: \[ A \times 135 - A^2 + A k + 135A - 18225 = 0 \]

Объединим подобные: \[ (135A + 135A) - A^2 + A k - 18225 = 0 \] \[ 270A - A^2 + A k = 18225 \]

Выразим \( A \): \[ A (270 + k - A) = 18225 \]

Напомним, что \( A = 135 - v \), и \( v = 135 - A \).

Здесь уравнение зависит от \( A \) и \( k \).

Попробуем найти целочисельные решения или предположить разумное значение.

Допустим, \( v \) — скорость первого теплохода, примерно немного меньше или равно 135 км/ч, потому что иначе второй не сможет догнать и прибыть одновременно.

Пусть \( v \approx 90 \) км/ч, тогда:

\[ T_1 = \frac{135}{v} = \frac{135}{90} = 1.5\, \textчаса \] и \[ T_2 = T_1 - 1 = 0.5\, \textчаса \]

Тогда скорость второго \[ v + k = \frac{135}{T_2} = \frac{135}{0.5} = 270\, \textкм/ч \] и \[ k = 270 - v \]

Подставим \( v = 90 \) км/ч: \[ k = 180\,\textкм/ч \] что выглядит очень высоким.

Проверим ещё раз:

• Первый за 1.5 часа: \[ 135\, \text км / 90\, \км/ч = 1.5\, \text час \]
• Второй за 0.5 часа: \[ 135\, \text км / (270\, \км/ч) = 0.5\, \text/час \]

Задержка — 1 час — подходит, ведь второй начал через 1 час после первого.

Это решение кажется логичным.

Изначальный вопрос — найти скорость второго теплохода, то есть \( v + k = 270 \) км/ч.

Итак, ответ:

Ответ: 270 км/ч.