Радиус окружности, описанной около основании правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 /2 см, а апофема - 10 см. Вычислите полную поверхность пирамиды.

Давайте разберём задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Радиус окружности, описанной около основания пирамиды: \( R = \frac{3}{2} \text{ см} \) - Апофема пирамиды: \( l = 10 \text{ см} \) **Требуется:** Найти полную поверхность пирамиды. --- ### Шаг 1. Что такое окружность, описанная около основания? Для правильной пирамиды с квадратным основанием окружность, описанная вокруг основания, — это окружность, проходящая через все вершины основания. Поскольку основание — квадрат, радиус описанной окружности равен радиусу вписанной окружности квадрата. Отношения: \[ R = \frac{a}{\sqrt{2}} \] где \( a \) — сторона квадрата основания. --- ### Шаг 2. Найти сторону основания Используя данное: \[ a = R \times \sqrt{2} \] Подставим \( R = \frac{3}{2} \): \[ a = \frac{3}{2} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см} \] --- ### Шаг 3. Найти апофему и высоту боковой грани Апофема пирамиды, \( l \), — это наклонная высота боковой грани (боковой треугольник, образованный высотой, апофемой и линией основания). Известно, что апофема пирамиды равна 10 см. Для правильной пирамиды с квадратным основанием высота боковой грани \( l \) и половина стороны основания \( \frac{a}{2} \) связаны через прямой треугольник: \[ h_b = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] где: - \( l = 10 \) — апофема, - \( \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \) Поскольку \( a = \frac{3\sqrt{2}}{2} \), то \[ \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \] Теперь найдём высоту боковой грани: \[ h_b = \sqrt{10^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2} \] Посчитаем: \[ \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{9 \times 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \] Тогда \[ h_b = \sqrt{100 - \frac{9}{8}} = \sqrt{\frac{800}{8} - \frac{9}{8}} = \sqrt{\frac{791}{8}} = \frac{\sqrt{791}}{2\sqrt{2}} \] Это — высота боковой грани (можно оставить так или приблизительно посчитать). Но для вычисления площади боковых граней нам нужно знать \( h_b \). --- ### Шаг 4. Площадь боковых граней Боковая поверхность — это 4 одинаковые треугольные грани. Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times a \times h \] где \( a \) — основание (сторона квадрата), равно \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \), а \( h \) — высота боковой грани, которую мы нашли. Подставим: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} \times h_b = \frac{3\sqrt{2}}{4} \times h_b \] --- ### Шаг 5. Площадь основания Основание — квадрат со стороной \( a \): \[ S_{осн} = a^2 = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{9 \times 2}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 6. Полная поверхность Общая площадь: \[ S_{total} = S_{осн} + 4 \times S_{бок} \] Подставляя значения: \[ S_{total} = \frac{9}{2} + 4 \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{4} \times h_b \right) \] Упростим внутренний член: \[ 4 \times \frac{3\sqrt{2}}{4} \times h_b = 3\sqrt{2} \times h_b \] Поэтому: \[ S_{total} = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2} \times h_b \] --- ### Итоговое выражение: Чтобы точно получить число, нужно вычислить \( h_b \): \[ h_b = \frac{\sqrt{791}}{2\sqrt{2}} \approx \frac{28.14}{2 \times 1.414} \approx \frac{28.14}{2.828} \approx 9.95 \] Теперь финально: \[ S_{бок} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \times 9.95 \approx \frac{3 \times 1.414}{4} \times 9.95 \approx \frac{4.242}{4} \times 9.95 \approx 1.0605 \times 9.95 \approx 10.55 \] Полная поверхность: \[ S_{total} \approx \frac{9}{2} + 4 \times 10.55 = 4.5 + 42.2 = 46.7\, \text{см}^2 \] --- ### **Ответ:** **Площадь полной поверхности пирамиды примерно равна 46,7 см².** Если нужно более точное или приближеное значение — можно оставить в виде выражения: \[ \boxed{ S_{total} = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{791}}{2 \sqrt{2}} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} \sqrt{791} } \] --- Если есть вопросы или нужна помощь в других задачах — обращайтесь!