Радиус окружности, описанной около основании правильной четырехугольной пирамиды, равен 3 /2 см, а апофема - 10 см. Вычислите полную поверхность пирамиды.
Давайте разберём задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Радиус окружности, описанной около основания пирамиды: \( R = \frac{3}{2} \text{ см} \)
- Апофема пирамиды: \( l = 10 \text{ см} \)
Требуется: Найти полную поверхность пирамиды.
Шаг 1. Что такое окружность, описанная около основания?
Для правильной пирамиды с квадратным основанием окружность, описанная вокруг основания, — это окружность, проходящая через все вершины основания.
Поскольку основание — квадрат, радиус описанной окружности равен радиусу вписанной окружности квадрата.
Отношения:
\[ R = \frac{a}{\sqrt{2}} \]
где \( a \) — сторона квадрата основания.
Шаг 2. Найти сторону основания
Используя данное:
\[ a = R \times \sqrt{2} \]
Подставим \( R = \frac{3}{2} \):
\[ a = \frac{3}{2} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см} \]
Шаг 3. Найти апофему и высоту боковой грани
Апофема пирамиды, \( l \), — это наклонная высота боковой грани (боковой треугольник, образованный высотой, апофемой и линией основания).
Известно, что апофема пирамиды равна 10 см.
Для правильной пирамиды с квадратным основанием высота боковой грани \( l \) и половина стороны основания \( \frac{a}{2} \) связаны через прямой треугольник:
\[ h_b = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]
где:
- \( l = 10 \) — апофема,
- \( \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)
Поскольку \( a = \frac{3\sqrt{2}}{2} \), то
\[ \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \]
Теперь найдём высоту боковой грани:
\[ h_b = \sqrt{10^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2} \]
Посчитаем:
\[ \left(\frac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{9 \times 2}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} \]
Тогда
\[ h_b = \sqrt{100 - \frac{9}{8}} = \sqrt{\frac{800}{8} - \frac{9}{8}} = \sqrt{\frac{791}{8}} = \frac{\sqrt{791}}{2\sqrt{2}} \]
Это — высота боковой грани (можно оставить так или приблизительно посчитать). Но для вычисления площади боковых граней нам нужно знать \( h_b \).
Шаг 4. Площадь боковых граней
Боковая поверхность — это 4 одинаковые треугольные грани.
Площадь одного бокового треугольника:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
где \( a \) — основание (сторона квадрата), равно \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \), а \( h \) — высота боковой грани, которую мы нашли.
Подставим:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{2}}{2} \times h_b = \frac{3\sqrt{2}}{4} \times h_b \]
Шаг 5. Площадь основания
Основание — квадрат со стороной \( a \):
\[ S_{осн} = a^2 = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{9 \times 2}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \text{ см}^2 \]
Шаг 6. Полная поверхность
Общая площадь:
\[ S_{total} = S_{осн} + 4 \times S_{бок} \]
Подставляя значения:
\[ S_{total} = \frac{9}{2} + 4 \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{4} \times h_b \right) \]
Упростим внутренний член:
\[ 4 \times \frac{3\sqrt{2}}{4} \times h_b = 3\sqrt{2} \times h_b \]
Поэтому:
\[ S_{total} = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2} \times h_b \]
Итоговое выражение:
Чтобы точно получить число, нужно вычислить \( h_b \):
\[ h_b = \frac{\sqrt{791}}{2\sqrt{2}} \approx \frac{28.14}{2 \times 1.414} \approx \frac{28.14}{2.828} \approx 9.95 \]
Теперь финально:
\[ S_{бок} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \times 9.95 \approx \frac{3 \times 1.414}{4} \times 9.95 \approx \frac{4.242}{4} \times 9.95 \approx 1.0605 \times 9.95 \approx 10.55 \]
Полная поверхность:
\[ S_{total} \approx \frac{9}{2} + 4 \times 10.55 = 4.5 + 42.2 = 46.7\, \text{см}^2 \]
Ответ:
Площадь полной поверхности пирамиды примерно равна 46,7 см².
Если нужно более точное или приближеное значение — можно оставить в виде выражения:
\[ \boxed{ S_{total} = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{791}}{2 \sqrt{2}} = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} \sqrt{791} } \]
Если есть вопросы или нужна помощь в других задачах — обращайтесь!
