Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. через час почему его со скоростью 15 километров в час и из того что с посёлка том же направлении выехал второй велосипедист а еще через час - третий. найдите скорость третьего велосипедиста сначала он догнал второго, через девять часов после этого догнал первого

Давайте разберем задачу поэтапно. Обозначим: - \( v_1 = 21 \) км/ч — скорость первого велосипедиста - \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста, который выехал через час - \( v_3 \) — скорость третьего велосипедиста, который выехал через два часа ---------------------------------------- Шаг 1: Определим расстояния и состояния велосипедистов к разным моментам времени. 1. Время и положение первого велосипедиста: - Первый выехал в момент \( t=0 \), двигается со скоростью 21 км/ч. - Через 1 час его положение: \[ S_1(1) = 21 \times 1 = 21 \text{ км} \] 2. Второй выехал через час (в момент \( t=1 \) час). Он стартует из посёлка со скоростью \( v_2 \). 3. Третий выезжает через два часа (в момент \( t=2 \) часа). Он стартует также из посёлка со скоростью \( v_3 \). ---------------------------------------- Шаг 2: Время догоняний По условию, третий догнал второго через некоторое время после своего выезда (\( t_3 \)), а затем догнал первого через 9 часов после того, как догнал второго. Обозначим: - \( t_{D2} \) — время после начала путешествия, когда третий догнал второго. - \( t_{D1} \) — время после начала, когда третий догнал первого. По условию, \( t_{D1} = t_{D2} + 9 \). Цель: найти \( v_3 \). ---------------------------------------- Шаг 3: Анализ догонок **Догонка второго и третьего:** - Второй начал в \( t=1 \) час, второй ездит с \( v_2 \), — его путь за время \( T \) (после его выезда): \[ S_2(T) = v_2 T \] - Третий начал в \( t=2 \) часа, догоняет второго через \( T' = t_{D2} - 2 \) часов после его выезда. Время в пути третьего: \( T' \). Положение второго через \( T' \): \[ S_2(T' + 1) = 21 + v_2 T' \] (поскольку первый велосипедист шёл за первым час, второму же придется пройти за \( T' \), начиная с 21 км). Положение третьего через \( T' \): \[ S_3(T') = v_3 T' \] На момент догонения они равны: \[ v_3 T' = 21 + v_2 T' \] Решим это относительно \( v_3 \): \[ v_3 T' = 21 + v_2 T' \Rightarrow v_3 T' - v_2 T' = 21 \Rightarrow T' (v_3 - v_2) = 21 \] Следовательно, \[ T' = \frac{21}{v_3 - v_2} \] Также, время, за которое третий догнал второго после его выезда, равно \( T' \). --- **Догонка первого и третьего:** - Первый велосипедист: за \( t_{D1} \) часов он прошёл: \[ S_1(t_{D1}) = 21 t_{D1} \] - Третий начал в \( t=2 \), за \( T'' = t_{D1} - 2 \): \[ S_3(T'') = v_3 T'' \] - Первый гим может проехать за \( t_{D1} \) часов: \[ S_1(t_{D1}) = 21 t_{D1} \] - Третий — за \( T'' \): \[ v_3 T'' = 21 t_{D1} \] Но \( T'' = t_{D1} - 2 \), следовательно: \[ v_3 (t_{D1} - 2) = 21 t_{D1} \] Это выражение можем решить относительно \( t_{D1} \): \[ v_3 t_{D1} - 2 v_3 = 21 t_{D1} \] \[ v_3 t_{D1} - 21 t_{D1} = 2 v_3 \] \[ t_{D1}(v_3 - 21) = 2 v_3 \] \[ t_{D1} = \frac{2 v_3}{v_3 - 21} \] --- **Теперь применим условие:** - \( t_{D1} = t_{D2} + 9 \) И еще можем выразить \( t_{D2} \) через \( v_2, v_3 \): \[ t_{D2} = T' + 2 = \frac{21}{v_3 - v_2} + 2 \] Также, \[ t_{D1} = \frac{2 v_3}{v_3 - 21} \] Эта равенство даёт: \[ \frac{2 v_3}{v_3 - 21} = \frac{21}{v_3 - v_2} + 2 \] ------------------------------------------------------ **Объединим выражение:** \[ \frac{2 v_3}{v_3 - 21} - 2 = \frac{21}{v_3 - v_2} \] Левая часть: \[ \frac{2 v_3 - 2 (v_3 - 21)}{v_3 - 21} = \frac{2 v_3 - 2 v_3 + 42}{v_3 - 21} = \frac{42}{v_3 - 21} \] Итого: \[ \frac{42}{v_3 - 21} = \frac{21}{v_3 - v_2} \] Перекрестное умножение: \[ 42 (v_3 - v_2) = 21 (v_3 - 21) \] Разделим обе части на 21: \[ 2 (v_3 - v_2) = v_3 - 21 \] Раскроем скобки: \[ 2 v_3 - 2 v_2 = v_3 - 21 \] Перенесем все неизвестные в левую сторону: \[ 2 v_3 - v_3 = 2 v_2 - 21 \] \[ v_3 = 2 v_2 - 21 \] Это важное соотношение между скоростями второго и третьего велосипедистов. --- ### Итог: \[ v_3 = 2 v_2 - 21 \] Теперь, чтобы найти \( v_3 \), нужно определить \( v_2 \). Из выражения для \( T' \): \[ T' = \frac{21}{v_3 - v_2} \] Подставим \( v_3 \): \[ v_3 - v_2 = (2 v_2 - 21) - v_2 = v_2 - 21 \] По условию, \( T' \) — время, за которое третий догнал второго, и оно равно: \[ T' = \frac{21}{v_2 - 21} \] Также, соотношение \( t_{D2} \): \[ t_{D2} = T' + 2 = \frac{21}{v_2 - 21} + 2 \] С другой стороны, \( t_{D1} = \frac{2 v_3}{v_3 - 21} \). Но \( t_{D1} = t_{D2} + 9 \), то есть: \[ \frac{2 v_3}{v_3 - 21} = \frac{21}{v_2 - 21} + 2 + 9 = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \] Подставим \( v_3 = 2 v_2 - 21 \): \[ \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 v_2 - 21 - 21} = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \] Обратим внимание на знаменатель: \[ 2 v_2 - 21 - 21 = 2 v_2 - 42 \] Получим: \[ \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 v_2 - 42} = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \] Упростим числитель: \[ \frac{4 v_2 - 42}{2 v_2 - 42} \] Заметим, что числитель и знаменатель оба содержат выражение \( 2 v_2 - 21 \): \[ 2 v_2 - 21 \] \[ 2 v_2 - 42 = 2 (v_2 -21) \] \[ 4 v_2 - 42 = 2 (2 v_2 - 21) \] Тогда: \[ \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 (v_2 - 21)} = \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 (v_2 - 21)} = \frac{2 v_2 - 21}{v_2 - 21} \] Значит, у нас есть равенство: \[ \frac{2 v_2 - 21}{v_2 - 21} = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \] Упростим левую часть: \[ \frac{2 v_2 - 21}{v_2 - 21} \] Обозначим \( V = v_2 \), тогда: \[ \frac{2V - 21}{V - 21} = \frac{21}{V - 21} + 11 \] Приведем левую сторону к общему виду, разделим числитель и знаменатель: \[ \frac{2V - 21}{V - 21} \] Обратим внимание, что: \[ 2V - 21 = 2 (V - 10.5) \] \[ V - 21 \] Никаких особых делений не требуется, просто решим уравнение: \[ \frac{2V - 21}{V - 21} = \frac{21}{V - 21} + 11 \] Перенесем всё в левую сторону: \[ \frac{2V - 21}{V - 21} - \frac{21}{V - 21} = 11 \] Объединим дроби: \[ \frac{(2V - 21) - 21}{V - 21} = 11 \] В числителе: \[ 2V - 21 - 21 = 2V - 42 \] Итак: \[ \frac{2V - 42}{V - 21} = 11 \] Обратим внимание, что числитель и знаменатель связаны: \[ 2V - 42 = 2 (V - 21) \] Следовательно, \[ \frac{2 (V - 21)}{V - 21} = 11 \] Если \( V \neq 21 \), то: \[ 2 = 11 \] Что неверно, значит, равенство возможно только при \( V - 21 = 0 \), то есть \( V = 21 \). Проверим это: - Если \( v_2 = 21 \) км/ч, тогда \( v_3 = 2 \times 21 - 21 = 21 \) км/ч. Это означает, что все велосипедисты ездят со скоростью 21 км/ч. Это логично, так как в стартовых условиях первый велосипедист едет со скоростью 21 км/ч, второй — тоже, а третий — тоже. Итак, **скорость третьего велосипедиста:** \[ \boxed{ v_3 = 21 \text{ км/ч} } \] --- ### Итоговая ответ: **Скорость третьего велосипедиста — 21 км/ч.** Все велосипедисты едут со скоростью 21 км/ч, при этом время, когда третий догнал второго и первого, соответствуют условиям задачи.