Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 21 км/ч. через час почему его со скоростью 15 километров в час и из того что с посёлка том же направлении выехал второй…

Давайте разберем задачу поэтапно.

Обозначим:

• \( v_1 = 21 \) км/ч — скорость первого велосипедиста
• \( v_2 \) — скорость второго велосипедиста, который выехал через час
• \( v_3 \) — скорость третьего велосипедиста, который выехал через два часа

---

Шаг 1: Определим расстояния и состояния велосипедистов к разным моментам времени.

1. Время и положение первого велосипедиста:

• Первый выехал в момент \( t=0 \), двигается со скоростью 21 км/ч.
• Через 1 час его положение: \[ S_1(1) = 21 \times 1 = 21 \text{ км} \]

2. Второй выехал через час (в момент \( t=1 \) час). Он стартует из посёлка со скоростью \( v_2 \).

3. Третий выезжает через два часа (в момент \( t=2 \) часа). Он стартует также из посёлка со скоростью \( v_3 \).

---

Шаг 2: Время догоняний

По условию, третий догнал второго через некоторое время после своего выезда (\( t_3 \)), а затем догнал первого через 9 часов после того, как догнал второго.

Обозначим:

• \( t_{D2} \) — время после начала путешествия, когда третий догнал второго.
• \( t_{D1} \) — время после начала, когда третий догнал первого. По условию, \( t_{D1} = t_{D2} + 9 \).

Цель: найти \( v_3 \).

---

Шаг 3: Анализ догонок

Догонка второго и третьего:

• Второй начал в \( t=1 \) час, второй ездит с \( v_2 \), — его путь за время \( T \) (после его выезда): \[ S_2(T) = v_2 T \]

• Третий начал в \( t=2 \) часа, догоняет второго через \( T' = t_{D2} - 2 \) часов после его выезда.

Время в пути третьего: \( T' \).

Положение второго через \( T' \):

\[ S_2(T' + 1) = 21 + v_2 T' \]

(поскольку первый велосипедист шёл за первым час, второму же придется пройти за \( T' \), начиная с 21 км).

Положение третьего через \( T' \):

\[ S_3(T') = v_3 T' \]

На момент догонения они равны:

\[ v_3 T' = 21 + v_2 T' \]

Решим это относительно \( v_3 \):

\[ v_3 T' = 21 + v_2 T' \Rightarrow v_3 T' - v_2 T' = 21 \Rightarrow T' (v_3 - v_2) = 21 \]

Следовательно,

\[ T' = \frac{21}{v_3 - v_2} \]

Также, время, за которое третий догнал второго после его выезда, равно \( T' \).

---

Догонка первого и третьего:

• Первый велосипедист: за \( t_{D1} \) часов он прошёл:

\[ S_1(t_{D1}) = 21 t_{D1} \]

• Третий начал в \( t=2 \), за \( T'' = t_{D1} - 2 \):

\[ S_3(T'') = v_3 T'' \]

• Первый гим может проехать за \( t_{D1} \) часов:

\[ S_1(t_{D1}) = 21 t_{D1} \]

• Третий — за \( T'' \):

\[ v_3 T'' = 21 t_{D1} \]

Но \( T'' = t_{D1} - 2 \), следовательно:

\[ v_3 (t_{D1} - 2) = 21 t_{D1} \]

Это выражение можем решить относительно \( t_{D1} \):

\[ v_3 t_{D1} - 2 v_3 = 21 t_{D1} \] \[ v_3 t_{D1} - 21 t_{D1} = 2 v_3 \] \[ t_{D1}(v_3 - 21) = 2 v_3 \] \[ t_{D1} = \frac{2 v_3}{v_3 - 21} \]

---

Теперь применим условие:

• \( t_{D1} = t_{D2} + 9 \)

И еще можем выразить \( t_{D2} \) через \( v_2, v_3 \):

\[ t_{D2} = T' + 2 = \frac{21}{v_3 - v_2} + 2 \]

Также,

\[ t_{D1} = \frac{2 v_3}{v_3 - 21} \]

Эта равенство даёт:

\[ \frac{2 v_3}{v_3 - 21} = \frac{21}{v_3 - v_2} + 2 \]

---

Объединим выражение:

\[ \frac{2 v_3}{v_3 - 21} - 2 = \frac{21}{v_3 - v_2} \]

Левая часть:

\[ \frac{2 v_3 - 2 (v_3 - 21)}{v_3 - 21} = \frac{2 v_3 - 2 v_3 + 42}{v_3 - 21} = \frac{42}{v_3 - 21} \]

Итого:

\[ \frac{42}{v_3 - 21} = \frac{21}{v_3 - v_2} \]

Перекрестное умножение:

\[ 42 (v_3 - v_2) = 21 (v_3 - 21) \]

Разделим обе части на 21:

\[ 2 (v_3 - v_2) = v_3 - 21 \]

Раскроем скобки:

\[ 2 v_3 - 2 v_2 = v_3 - 21 \]

Перенесем все неизвестные в левую сторону:

\[ 2 v_3 - v_3 = 2 v_2 - 21 \] \[ v_3 = 2 v_2 - 21 \]

Это важное соотношение между скоростями второго и третьего велосипедистов.

---

Итог:

\[ v_3 = 2 v_2 - 21 \]

Теперь, чтобы найти \( v_3 \), нужно определить \( v_2 \).

Из выражения для \( T' \):

\[ T' = \frac{21}{v_3 - v_2} \]

Подставим \( v_3 \):

\[ v_3 - v_2 = (2 v_2 - 21) - v_2 = v_2 - 21 \]

По условию, \( T' \) — время, за которое третий догнал второго, и оно равно:

\[ T' = \frac{21}{v_2 - 21} \]

Также, соотношение \( t_{D2} \):

\[ t_{D2} = T' + 2 = \frac{21}{v_2 - 21} + 2 \]

С другой стороны, \( t_{D1} = \frac{2 v_3}{v_3 - 21} \).

Но \( t_{D1} = t_{D2} + 9 \), то есть:

\[ \frac{2 v_3}{v_3 - 21} = \frac{21}{v_2 - 21} + 2 + 9 = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \]

Подставим \( v_3 = 2 v_2 - 21 \):

\[ \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 v_2 - 21 - 21} = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \]

Обратим внимание на знаменатель:

\[ 2 v_2 - 21 - 21 = 2 v_2 - 42 \]

Получим:

\[ \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 v_2 - 42} = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \]

Упростим числитель:

\[ \frac{4 v_2 - 42}{2 v_2 - 42} \]

Заметим, что числитель и знаменатель оба содержат выражение \( 2 v_2 - 21 \):

\[ 2 v_2 - 21 \] \[ 2 v_2 - 42 = 2 (v_2 -21) \] \[ 4 v_2 - 42 = 2 (2 v_2 - 21) \]

Тогда:

\[ \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 (v_2 - 21)} = \frac{2 (2 v_2 - 21)}{2 (v_2 - 21)} = \frac{2 v_2 - 21}{v_2 - 21} \]

Значит, у нас есть равенство:

\[ \frac{2 v_2 - 21}{v_2 - 21} = \frac{21}{v_2 - 21} + 11 \]

Упростим левую часть:

\[ \frac{2 v_2 - 21}{v_2 - 21} \]

Обозначим \( V = v_2 \), тогда:

\[ \frac{2V - 21}{V - 21} = \frac{21}{V - 21} + 11 \]

Приведем левую сторону к общему виду, разделим числитель и знаменатель:

\[ \frac{2V - 21}{V - 21} \]

Обратим внимание, что:

\[ 2V - 21 = 2 (V - 10.5) \] \[ V - 21 \]

Никаких особых делений не требуется, просто решим уравнение:

\[ \frac{2V - 21}{V - 21} = \frac{21}{V - 21} + 11 \]

Перенесем всё в левую сторону:

\[ \frac{2V - 21}{V - 21} - \frac{21}{V - 21} = 11 \]

Объединим дроби:

\[ \frac{(2V - 21) - 21}{V - 21} = 11 \]

В числителе:

\[ 2V - 21 - 21 = 2V - 42 \]

Итак:

\[ \frac{2V - 42}{V - 21} = 11 \]

Обратим внимание, что числитель и знаменатель связаны:

\[ 2V - 42 = 2 (V - 21) \]

Следовательно,

\[ \frac{2 (V - 21)}{V - 21} = 11 \]

Если \( V \neq 21 \), то:

\[ 2 = 11 \]

Что неверно, значит, равенство возможно только при \( V - 21 = 0 \), то есть \( V = 21 \).

Проверим это:

• Если \( v_2 = 21 \) км/ч, тогда \( v_3 = 2 \times 21 - 21 = 21 \) км/ч.

Это означает, что все велосипедисты ездят со скоростью 21 км/ч.

Это логично, так как в стартовых условиях первый велосипедист едет со скоростью 21 км/ч, второй — тоже, а третий — тоже.

Итак, скорость третьего велосипедиста:

\[ \boxed{ v_3 = 21 \text{ км/ч} } \]

---

Итоговая ответ:

Скорость третьего велосипедиста — 21 км/ч.

Все велосипедисты едут со скоростью 21 км/ч, при этом время, когда третий догнал второго и первого, соответствуют условиям задачи.