Решите уравнение

Рассмотрим уравнение:
\[ \sqrt{6 - x} = x \]

Цель — понять шаги решения этого уравнения.

Шаг 1. Проверим область определения уравнения

Поскольку слева стоит квадратный корень, выражение под корнем (\(6 - x\)) должно быть неотрицательным:
\[ 6 - x \geq 0 \implies x \leq 6 \]

Также, правая часть — это сама переменная \(x\). Чтобы равенство имело смысл, и чтобы \(x\) был равен квадратному корню (который неотрицателен), получаем:
\[ x \geq 0 \]

Область определения:
\[ 0 \leq x \leq 6 \]

Шаг 2. Возводим обе части уравнения в квадрат

Чтобы избавиться от корня, возьмем квадраты:
\[ (\sqrt{6 - x})^2 = x^2 \] \[ 6 - x = x^2 \]

Это — квадратичное уравнение:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]

Шаг 3. Решаем квадратичное уравнение

Используем формулу корней квадратичного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Значения:
\[ a=1,\quad b=1,\quad c=-6 \]

Вычисляем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 1 + 24 = 25 \]

Корни:
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]

Получаем два решения:

• \(x = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
• \(x = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Шаг 4. Проверка решений на области и исходное уравнение

Из области определения — \(0 \leq x \leq 6\):

• \(x=2\) — попадает, проверим исходное уравнение:
  \[ \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2,\quad\text{равно }x=2,\quad верное решение. \]

• \(x = -3\) — не подходит, так как \(-3\) не входит в область определения (так как требуется \(x \geq 0\)). Проверку на исходном уравнении не проводим, потому что не удовлетворяет условию области.

Итог

Единственное решение:
\[ \boxed{x = 2} \]

Если есть дополнительные вопросы — скажи!