Решите уравнение
Давайте решим уравнение:
\[ \sqrt{-3x - x^2} - 9 = 0 \]
Шаг 1. Перенесем 9 в правую часть уравнения:
\[ \sqrt{-3x - x^2} = 9 \]
Шаг 2. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ (-3x - x^2) = 9^2 \] \[ -3x - x^2 = 81 \]
Шаг 3. Запишем уравнение в стандартном виде:
\[ -x^2 - 3x = 81 \]
или
\[ x^2 + 3x + 81 = 0 \]
(умножили обе части на -1, чтобы коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) были положительными).
Шаг 4. Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 + 3x + 81 = 0 \]
Дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times 81 = 9 - 324 = -315 \]
Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет вещественных решений.
Шаг 5. Проверка условий под корнем:
Обратим внимание, что в исходном выражении под корнем стоит выражение \(-3x - x^2\). Для того чтобы корень был действительным, необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:
\[ -3x - x^2 \geq 0 \]
или
\[ -(x^2 + 3x) \geq 0 \]
\[ x^2 + 3x \leq 0 \]
Факторизуем:
\[ x(x + 3) \leq 0 \]
Это неравенство верно, когда \(x\) лежит в интервале:
\[ x \in [-3, 0] \]
Заключение:
- Внутри интервала \([-3, 0]\) выражение под корнем допустимо.
- Но решения уравнения по дискриминанту отсутствуют в вещественных числах.
- Следовательно, в области допустимых значений \(x \in [-3, 0]\) решений нет.
Ответ: Нет вещественных решений уравнения.
