решите уравнение 2 sin x - 3 cos x - 3 = 0. в ответ запишите количество решений, принадлежащих промежутку [0; 2п.]
Давайте решим уравнение:
\[ 2 \sin x - 3 \cos x - 3 = 0 \]
Цель — найти количество решений на промежутке \( [0; 2\pi] \).
Шаг 1: Приведем уравнение к удобной форме
Перепишем уравнение:
\[ 2 \sin x - 3 \cos x = 3 \]
Это тригонометрическая кфункция вида: \( A \sin x + B \cos x = C \).
Шаг 2: Представление в виде одного синуса или косинуса
Для решения уравнения вида \( A \sin x + B \cos x = C \) используют формулу:
\[ R \sin(x + \alpha) = C \]
где:
\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \]
и \( \alpha \) — такой угол, что:
\[ \sin \alpha = \frac{B}{R} \]
\[ \cos \alpha = \frac{A}{R} \]
Для нашего уравнения:
\[ A = 2, \quad B = -3 \]
Шаг 3: Вычисляем \( R \) и \( \alpha \)
\[ R = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]
Теперь находим \( \alpha \):
\[ \sin \alpha = \frac{-3}{\sqrt{13}} \]
\[ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} \]
\(\alpha\) — такой угол, что:
\[ \alpha = \arcsin \left( \frac{-3}{\sqrt{13}} \right) \]
Обратите внимание: поскольку \( \sin \alpha < 0 \), и \( \cos \alpha > 0 \), угол \(\alpha\) находится в четвертой или третьей четверти. Но для удобства будем использовать функцию:
\[ R \sin(x + \alpha) = 3 \]
или
\[ \sin(x + \alpha) = \frac{3}{R} = \frac{3}{\sqrt{13}} \]
Шаг 4: Решение уравнения
\[ \sin(x + \alpha) = \frac{3}{\sqrt{13}} \]
Поскольку \( \sin \) — функция, равная \( \frac{3}{\sqrt{13}} \) (а this число приблизительно равно 0.83), уравнение имеет два решения для каждого периода:
\[ x + \alpha = \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \] или \[ x + \alpha = \pi - \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \]
где \(k \in \mathbb{Z}\).
Шаг 5: Найдём конкретные решения в интервале \( [0; 2\pi] \)
Обозначим:
\[ \beta = \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) \]
Обратите внимание, что:
\[ - \frac{\pi}{2} \leq \beta \leq \frac{\pi}{2} \]
Значит, решения для \(x\):
\[ x = -\alpha + \beta + 2\pi k \] или \[ x = -\alpha + (\pi - \beta) + 2\pi k \]
Однако, поскольку мы учли в \( \alpha \) знак отрицательное, проще использовать выражения:
\[ x = -\alpha + \beta + 2\pi k \] и \[ x = -\alpha + (\pi - \beta) + 2\pi k \]
или напрямую решать по более стандартной формуле:
\[ x = -\alpha + \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \] \[ x = -\alpha + \pi - \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \]
Шаг 6: Определим решения на интервале \( [0; 2\pi] \)
Значение \( \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) \) примерно равно:
\[ \arcsin(0.83) \approx 0.98 \text{ радиан} \]
Также, \( \alpha \):
\[ \sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}} \approx -0.83 \] \[ \alpha \approx -0.98 \text{ радиан} \]
Обратите внимание, что \( x \):
- Первый корень:
\[ x_1 \approx -(-0.98) + 0.98 \approx 0.98 + 0.98 = 1.96 \]
- Второй корень:
\[ x_2 \approx -(-0.98) + \pi - 0.98 \approx 0.98 + 3.14 - 0.98 = 3.14 \]
Теперь убедимся, что эти решения лежат в диапазоне \( [0; 2\pi] \) (то есть, около от 0 до 6.28).
Решения:
\[ x_1 \approx 1.96 \] (в диапазоне)
\[ x_2 \approx 3.14 \] (в диапазоне)
Шаг 7: Учтём возможные решения, полученные при \(k = 1\)
Следующие решения будут:
- \( x = x_1 + 2\pi \approx 1.96 + 6.28 \approx 8.24 \), что превышает \( 2\pi \), и не входит в интервал.
- \( x = x_2 + 2\pi \approx 3.14 + 6.28 \approx 9.42 \), также за пределами интервала.
Следовательно, в интервале \( [0; 2\pi] \) есть два решения.
Ответ:
Количество решений уравнения \( 2 \sin x - 3 \cos x - 3 = 0 \) на интервале \( [0; 2\pi] \): 2.
