Решите уравнение 2 sin x - 3 cos x - 3 = 0. в ответ запишите количество решений, принадлежащих промежутку [0; 2п.]

Давайте решим уравнение: \[ 2 \sin x - 3 \cos x - 3 = 0 \] Цель — найти количество решений на промежутке \( [0; 2\pi] \). --- ### Шаг 1: Приведем уравнение к удобной форме Перепишем уравнение: \[ 2 \sin x - 3 \cos x = 3 \] Это тригонометрическая кфункция вида: \( A \sin x + B \cos x = C \). --- ### Шаг 2: Представление в виде одного синуса или косинуса Для решения уравнения вида \( A \sin x + B \cos x = C \) используют формулу: \[ R \sin(x + \alpha) = C \] где: \[ R = \sqrt{A^2 + B^2} \] и \( \alpha \) — такой угол, что: \[ \sin \alpha = \frac{B}{R} \] \[ \cos \alpha = \frac{A}{R} \] Для нашего уравнения: \[ A = 2, \quad B = -3 \] --- ### Шаг 3: Вычисляем \( R \) и \( \alpha \) \[ R = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Теперь находим \( \alpha \): \[ \sin \alpha = \frac{-3}{\sqrt{13}} \] \[ \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} \] \(\alpha\) — такой угол, что: \[ \alpha = \arcsin \left( \frac{-3}{\sqrt{13}} \right) \] Обратите внимание: поскольку \( \sin \alpha < 0 \), и \( \cos \alpha > 0 \), угол \(\alpha\) находится в четвертой или третьей четверти. Но для удобства будем использовать функцию: \[ R \sin(x + \alpha) = 3 \] или \[ \sin(x + \alpha) = \frac{3}{R} = \frac{3}{\sqrt{13}} \] --- ### Шаг 4: Решение уравнения \[ \sin(x + \alpha) = \frac{3}{\sqrt{13}} \] Поскольку \( \sin \) — функция, равная \( \frac{3}{\sqrt{13}} \) (а this число приблизительно равно 0.83), уравнение имеет два решения для каждого периода: \[ x + \alpha = \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \] или \[ x + \alpha = \pi - \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \] где \(k \in \mathbb{Z}\). --- ### Шаг 5: Найдём конкретные решения в интервале \( [0; 2\pi] \) Обозначим: \[ \beta = \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) \] Обратите внимание, что: \[ - \frac{\pi}{2} \leq \beta \leq \frac{\pi}{2} \] Значит, решения для \(x\): \[ x = -\alpha + \beta + 2\pi k \] или \[ x = -\alpha + (\pi - \beta) + 2\pi k \] Однако, поскольку мы учли в \( \alpha \) знак отрицательное, проще использовать выражения: \[ x = -\alpha + \beta + 2\pi k \] и \[ x = -\alpha + (\pi - \beta) + 2\pi k \] или напрямую решать по более стандартной формуле: \[ x = -\alpha + \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \] \[ x = -\alpha + \pi - \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) + 2\pi k \] --- ### Шаг 6: Определим решения на интервале \( [0; 2\pi] \) Значение \( \arcsin \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right) \) примерно равно: \[ \arcsin(0.83) \approx 0.98 \text{ радиан} \] Также, \( \alpha \): \[ \sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{13}} \approx -0.83 \] \[ \alpha \approx -0.98 \text{ радиан} \] Обратите внимание, что \( x \): 1. Первый корень: \[ x_1 \approx -(-0.98) + 0.98 \approx 0.98 + 0.98 = 1.96 \] 2. Второй корень: \[ x_2 \approx -(-0.98) + \pi - 0.98 \approx 0.98 + 3.14 - 0.98 = 3.14 \] Теперь убедимся, что эти решения лежат в диапазоне \( [0; 2\pi] \) (то есть, около от 0 до 6.28). Решения: \[ x_1 \approx 1.96 \] (в диапазоне) \[ x_2 \approx 3.14 \] (в диапазоне) --- ### Шаг 7: Учтём возможные решения, полученные при \(k = 1\) Следующие решения будут: - \( x = x_1 + 2\pi \approx 1.96 + 6.28 \approx 8.24 \), что превышает \( 2\pi \), и не входит в интервал. - \( x = x_2 + 2\pi \approx 3.14 + 6.28 \approx 9.42 \), также за пределами интервала. Следовательно, в интервале \( [0; 2\pi] \) есть **два** решения. --- ### **Ответ:** **Количество решений уравнения \( 2 \sin x - 3 \cos x - 3 = 0 \) на интервале \( [0; 2\pi] \): 2.**