Давайте решим задачу подробно и пошагово.
Дано:
- Радиус шара ( R = 13 ) см
- Два параллельных сечения, радиусы которых: ( r_1 = 5 ) см и ( r_2 = 12 ) см
Надо найти:
- Расстояние между этими двумя плоскостями ( d )
Шаг 1. Вспомним свойства сечений шара
Плоскость, пересекающая шар, является кругом.
Радиус этого круга зависит от расстояния ( h \ от центра шара до плоскости следующим образом:
[
r = \sqrt{R^2 - h^2}
]
где
- ( R ) — радиус шара
- ( h ) — расстояние от центра шара до плоскости
Шаг 2. Выразим расстояния ( h_1 ) и ( h_2 ) для двух сечений
Для первой плоскости с радиусом ( r_1 = 5 ) см:
[
r_1^2 = R^2 - h_1^2 \Rightarrow h_1 = \pm \sqrt{R^2 - r_1^2}
]
Для второй плоскости с радиусом ( r_2 = 12 ) см:
[
r_2^2 = R^2 - h_2^2 \Rightarrow h_2 = \pm \sqrt{R^2 - r_2^2}
]
Поскольку обе сечения параллельны и расположены внутри шара, расстояния от центра шара до них — это абсолютные значения ( h_1 ) и ( h_2 ).
Шаг 3. Вычисляем ( h_1 ) и ( h_2 ):
[
h_1 = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12
]
[
h_2 = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5
]
Обратите внимание, что возможны и отрицательные значения, но для определения расстояния между плоскостями важно разность абсолютных значений.
Шаг 4. Находим расстояние между плоскостями
Расстояние между двумя параллельными плоскостями — это разность их ( h ):
[
d = |h_2 - h_1| = |5 - 12| = 7
]
или наоборот, если бы ( h_1 = 12 ) и ( h_2 = 5 ), результат был бы тоже 7.
Ответ:
Расстояние между плоскостями равно 7 см.
Если есть вопросы по решению или нужно более подробное объяснение — скажите!
