Давайте разберем задачу подробно и по шагам.
Дано:
- Сопротивление ( R = 10, \Omega )
- Функция напряжения: ( u(t) = 141 \cos(100 \pi t) , В )
- Не указано явно, что такое "за один период" — предполагается, что речь идет о полном колебании (одном периоде).
Шаг 1. Найдем период колебаний
Функция напряжения: ( u(t) = 141 \cos(100 \pi t) )
Общая форма: ( u(t) = U_{max} \cos(\omega t) )
Здесь: ( \omega = 100 \pi )
Период ( T ):
[
T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{2}{100} = 0.02, \text{с}
]
Шаг 2. Запишем формулу для выделенной энергии
Интенсивность выделения теплоты на сопротивлении за время ( t ) составляет:
[
Q = \int P(t) dt
]
Где мощность в момент времени ( t ):
[
P(t) = \frac{u(t)^2}{R}
]
Поскольку ( P(t) = \frac{u^2(t)}{R} ), то общее количество теплоты за один период:
[
Q = \int_0^{T} \frac{u(t)^2}{R} dt
]
Шаг 3. Подставим функцию ( u(t) ):
[
Q = \frac{1}{R} \int_0^{T} [141 \cos(100 \pi t)]^2 dt
]
[
Q = \frac{1}{10} \int_0^{T} 141^2 \cos^2(100 \pi t) dt
]
[
Q = \frac{141^2}{10} \int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt
]
Шаг 4. Вынесем постоянные и решим интеграл
Постоянные:
[
Q = \frac{19881}{10} \int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt
]
(где ( 141^2 = 19881 ))
Используем тригонометрическую формулу:
[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
]
Тогда интеграл:
[
\int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt = \frac{1}{2} \int_0^{T} [1 + \cos(200 \pi t)] dt
]
Рассчитаем по частям:
[
= \frac{1}{2} \left[ \int_0^{T} 1 , dt + \int_0^{T} \cos(200 \pi t) dt \right]
]
[
= \frac{1}{2} \left[ T + \left. \frac{\sin(200 \pi t)}{200 \pi} \right|_0^{T} \right]
]
Так как ( \sin(200 \pi T) = \sin(200 \pi \times 0.02) )
Проверим это:
[
200 \pi \times 0.02 = 200 \pi \times \frac{2}{100} = 200 \pi \times 0.02 = 4 \pi
]
Значит:
[
\sin(4 \pi) = 0
]
Следовательно:
[
\int_0^{T} \cos(200 \pi t) dt = 0
]
Итог:
[
\int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt = \frac{1}{2} [T + 0] = \frac{T}{2}
]
Подставим значение ( T = 0.02, \text{s} ):
[
\int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt = \frac{0.02}{2} = 0.01, \text{с}
]
Шаг 5. Итоговое выражение для количества теплоты
[
Q = \frac{19881}{10} \times 0.01 = 1988.1 \times 0.01 = 19.881, \text{Дж}
]
Финальный ответ:
Количество теплоты, выделившееся на активном сопротивлении за один период колебаний, равно примерно ( \boxed{19.88, \text{Дж}} ).
