Найдите Количество теплоты, выделившееся на активном сопротивлении 10 Ом за один период колебаний, если мгновенное значение переменного напряжения на сопротивлении описывается…

Давайте разберем задачу подробно и по шагам.

Дано:

• Сопротивление \( R = 10\, \Omega \)
• Функция напряжения: \( u(t) = 141 \cos(100 \pi t) \, В \)
• Не указано явно, что такое "за один период" — предполагается, что речь идет о полном колебании (одном периоде).

---

Шаг 1. Найдем период колебаний

Функция напряжения: \( u(t) = 141 \cos(100 \pi t) \)

Общая форма: \( u(t) = U_{max} \cos(\omega t) \)

Здесь: \( \omega = 100 \pi \)

Период \( T \):

\[ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{100 \pi} = \frac{2}{100} = 0.02\, \text{с} \]

---

Шаг 2. Запишем формулу для выделенной энергии

Интенсивность выделения теплоты на сопротивлении за время \( t \) составляет:

\[ Q = \int P(t) dt \]

Где мощность в момент времени \( t \):

\[ P(t) = \frac{u(t)^2}{R} \]

Поскольку \( P(t) = \frac{u^2(t)}{R} \), то общее количество теплоты за один период:

\[ Q = \int_0^{T} \frac{u(t)^2}{R} dt \]

---

Шаг 3. Подставим функцию \( u(t) \):

\[ Q = \frac{1}{R} \int_0^{T} [141 \cos(100 \pi t)]^2 dt \]

\[ Q = \frac{1}{10} \int_0^{T} 141^2 \cos^2(100 \pi t) dt \]

\[ Q = \frac{141^2}{10} \int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt \]

---

Шаг 4. Вынесем постоянные и решим интеграл

Постоянные:

\[ Q = \frac{19881}{10} \int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt \]

(где \( 141^2 = 19881 \))

Используем тригонометрическую формулу:

\[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \]

Тогда интеграл:

\[ \int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt = \frac{1}{2} \int_0^{T} [1 + \cos(200 \pi t)] dt \]

Рассчитаем по частям:

\[ = \frac{1}{2} \left[ \int_0^{T} 1 \, dt + \int_0^{T} \cos(200 \pi t) dt \right] \]

\[ = \frac{1}{2} \left[ T + \left. \frac{\sin(200 \pi t)}{200 \pi} \right|_0^{T} \right] \]

Так как \( \sin(200 \pi T) = \sin(200 \pi \times 0.02) \)

Проверим это:

\[ 200 \pi \times 0.02 = 200 \pi \times \frac{2}{100} = 200 \pi \times 0.02 = 4 \pi \]

Значит:

\[ \sin(4 \pi) = 0 \]

Следовательно:

\[ \int_0^{T} \cos(200 \pi t) dt = 0 \]

Итог:

\[ \int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt = \frac{1}{2} [T + 0] = \frac{T}{2} \]

Подставим значение \( T = 0.02\, \text{s} \):

\[ \int_0^{T} \cos^2(100 \pi t) dt = \frac{0.02}{2} = 0.01\, \text{с} \]

---

Шаг 5. Итоговое выражение для количества теплоты

\[ Q = \frac{19881}{10} \times 0.01 = 1988.1 \times 0.01 = 19.881\, \text{Дж} \]

---

Финальный ответ:

Количество теплоты, выделившееся на активном сопротивлении за один период колебаний, равно примерно \( \boxed{19.88\, \text{Дж}} \).