Если некоторое двузначное число умножить на сумму его цифр,то получиться 405. Если число,написанное теми же цифрами, но в обратном порядке,умножить на сумму его цифр, то получится 486. Найдите это число.

Давайте пошагово решим задачу. **Дано:** - Пусть двузначное число — это \(10a + b\), где \(a\) — цифра десятков, \(b\) — цифра единиц. - Сумма его цифр: \(a + b\). **Условие 1:** "Если число умножить на сумму его цифр, то получится 405." То есть: \[ (10a + b) \times (a + b) = 405 \] **Условие 2:** "Если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486." Обратное число: \(10b + a\). Тогда: \[ (10b + a) \times (a + b) = 486 \] --- ### Шаг 1: Запишем уравнения \[ (10a + b)(a + b) = 405 \quad ...(1) \] \[ (10b + a)(a + b) = 486 \quad ...(2) \] ### Шаг 2: Разделим второе уравнение на первое, чтобы упростить \[ \frac{(10b + a)(a + b)}{(10a + b)(a + b)} = \frac{486}{405} \] Если \(a + b \neq 0\), то: \[ \frac{10b + a}{10a + b} = \frac{486}{405} \] Упростим правую часть: \[ \frac{486}{405} = \frac{486 ÷ 81}{405 ÷ 81} = \frac{6}{5} \] Следовательно: \[ \frac{10b + a}{10a + b} = \frac{6}{5} \] Перепишем: \[ \frac{10b + a}{10a + b} = \frac{6}{5} \] Домножим обе части на \(10a + b\): \[ (10b + a) = \frac{6}{5}(10a + b) \] Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 5: \[ 5(10b + a) = 6(10a + b) \] Раскроем скобки: \[ 50b + 5a = 60a + 6b \] Перенесём все в одну сторону: \[ 50b - 6b = 60a - 5a \] \[ 44b = 55a \] Сократим обе части на 11: \[ 4b = 5a \] Выразим \(b\): \[ b = \frac{5a}{4} \] Поскольку \(a\) и \(b\) — digits (от 1 до 9), и \(b\) должно быть целым числом, а также цифрой, то: \[ \frac{5a}{4} \in \mathbb{Z} \] Это возможно, только если \(a\) делится на 4. Цифры \(a\) могут быть: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Проверим варианты: - Для \(a=4\): \[ b = \frac{5 \times 4}{4} = 5 \] Это допустимые цифры: \(a=4\), \(b=5\). - Для \(a=8\): \[ b = \frac{5 \times 8}{4} = 10 \] Но \(b=10\), что недопустимо (цифры однозначные). Другие значения не подходят. Итак, **единственный вариант**: \[ a=4,\quad b=5 \] --- ### Шаг 3: Проверим эти значения в уравнениях (1) и (2): \[ a=4,\quad b=5 \] **Условие (1):** \[ (10a + b)(a + b) = 405 \] Подставим: \[ (10 \times 4 + 5)(4+5) = (40 + 5)(9) = 45 \times 9 = 405 \] Верно! **Условие (2):** Обратное число: \(10b + a = 10 \times 5 + 4 = 54\). Проверим: \[ (10b + a)(a + b) = 486 \] \[ 54 \times 9 = 486 \] Верно! --- ### **Ответ:** **Исходное число:** \(\boxed{45}\) --- Если еще есть вопросы — обращайтесь!