если некоторое двузначное число умножить на сумму его цифр,то получиться 405. Если число,написанное теми же цифрами, но в обратном порядке,умножить на сумму его цифр, то получится…

Давайте пошагово решим задачу.

Дано:

• Пусть двузначное число — это \(10a + b\), где \(a\) — цифра десятков, \(b\) — цифра единиц.
• Сумма его цифр: \(a + b\).

Условие 1:
"Если число умножить на сумму его цифр, то получится 405."
То есть:
\[ (10a + b) \times (a + b) = 405 \]

Условие 2:
"Если число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486."
Обратное число: \(10b + a\). Тогда:
\[ (10b + a) \times (a + b) = 486 \]

---

Шаг 1: Запишем уравнения

\[ (10a + b)(a + b) = 405 \quad ...(1) \]

\[ (10b + a)(a + b) = 486 \quad ...(2) \]

Шаг 2: Разделим второе уравнение на первое, чтобы упростить

\[ \frac{(10b + a)(a + b)}{(10a + b)(a + b)} = \frac{486}{405} \]

Если \(a + b \neq 0\), то:

\[ \frac{10b + a}{10a + b} = \frac{486}{405} \]

Упростим правую часть:

\[ \frac{486}{405} = \frac{486 ÷ 81}{405 ÷ 81} = \frac{6}{5} \]

Следовательно:

\[ \frac{10b + a}{10a + b} = \frac{6}{5} \]

Перепишем:

\[ \frac{10b + a}{10a + b} = \frac{6}{5} \]

Домножим обе части на \(10a + b\):

\[ (10b + a) = \frac{6}{5}(10a + b) \]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на 5:

\[ 5(10b + a) = 6(10a + b) \]

Раскроем скобки:

\[ 50b + 5a = 60a + 6b \]

Перенесём все в одну сторону:

\[ 50b - 6b = 60a - 5a \]

\[ 44b = 55a \]

Сократим обе части на 11:

\[ 4b = 5a \]

Выразим \(b\):

\[ b = \frac{5a}{4} \]

Поскольку \(a\) и \(b\) — digits (от 1 до 9), и \(b\) должно быть целым числом, а также цифрой, то:

\[ \frac{5a}{4} \in \mathbb{Z} \]

Это возможно, только если \(a\) делится на 4. Цифры \(a\) могут быть: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Проверим варианты:

• Для \(a=4\):

\[ b = \frac{5 \times 4}{4} = 5 \]

Это допустимые цифры: \(a=4\), \(b=5\).

• Для \(a=8\):

\[ b = \frac{5 \times 8}{4} = 10 \]

Но \(b=10\), что недопустимо (цифры однозначные).
Другие значения не подходят.

Итак, единственный вариант:

\[ a=4,\quad b=5 \]

---

Шаг 3: Проверим эти значения в уравнениях (1) и (2):

\[ a=4,\quad b=5 \]

Условие (1):

\[ (10a + b)(a + b) = 405 \] Подставим:

\[ (10 \times 4 + 5)(4+5) = (40 + 5)(9) = 45 \times 9 = 405 \]

Верно!

Условие (2):

Обратное число: \(10b + a = 10 \times 5 + 4 = 54\).

Проверим:

\[ (10b + a)(a + b) = 486 \] \[ 54 \times 9 = 486 \]

Верно!

---

Ответ:

Исходное число: \(\boxed{45}\)

---

Если еще есть вопросы — обращайтесь!