При x→1x→1 указать все верные утверждения: arcsinx∼xarcsin⁡x∼x arcsin(x+1)∼(x+1)arcsin⁡(x+1)∼(x+1) arcsin(x−1)∼(x−1)arcsin⁡(x−1)∼(x−1) arcsin1x−1∼1x−1arcsin⁡1x−1∼1x−1 Выберите…

Давайте подробно разберем каждое утверждение, чтобы понять, какие из них верны при \( x \to 1 \).

---

Введение

Функция \( \arcsin x \) (арк sine или arcsin) — обратная функция к \( \sin x \), определенная на интервале \([-1, 1]\).

При \( x \to 1 \), значение \( \arcsin x \to \frac{\pi}{2} \).

Нас интересуют асимптотические поведения выражений при \( x \to 1 \).

---

Рассмотрим каждое утверждение отдельно

---

1. \( \arcsin x \sim x \)

Это утверждение утверждает, что при \( x \to 0 \), \( \arcsin x \sim x \).

Однако в условии \(\to 1\), а не \(\to 0\).
На самом деле, при \( x \to 1 \), \( \arcsin 1 = \pi/2 \).

Так что \( \arcsin x \) при \( x \to 1 \) стремится к \( \pi/2 \), а не к \( x \).

Следовательно, в окрестности \( x=1 \), отношение \( \arcsin x / x \) не стремится к 1, а имеет другой предел.

---

2. \( \arcsin (x+1) \sim (x+1) \)

Аналогично, эта асимптота первая хорошо работает при \( x \to 0 \), потому что \( \arcsin y \sim y \) при \( y \to 0 \).

Но в случае \( x \to 1 \):

• \( x+1 \to 2 \), и \( \arcsin (x+1) \to \arcsin 2 \), а так как \( \arcsin y \) неопределено вне \([-1,1]\), то при \( x \to 1 \), \( x+1 \to 2 \), и \( \arcsin 2 \) — не существует, то есть это неверное утверждение.

---

3. \( \arcsin(x-1) \sim (x-1) \)

Рассматриваем поведение при \( x \to 1 \).

• Тогда \( x-1 \to 0 \),
• и \( \arcsin(x-1) \sim x-1 \) при \( x-1 \to 0 \).

Это действительно правильно, потому что \( \arcsin y \sim y \) при \( y \to 0 \).

То есть эти утверждение верно.

---

4. \( \arcsin(1/(x-1)) \sim 1/(x-1) \)

При \( x \to 1 \), \( x-1 \to 0 \).

Тогда \( 1/(x-1) \) — стремится к \( \pm \infty \).

Функция \( \arcsin y \) для больших \(|y|\) не определена для \( |y| > 1 \).

• Если \( x \to 1^+ \), то \( x-1 \to 0^+ \), и \( 1/(x-1) \to +\infty \). Тогда \( \arcsin (1/(x-1)) \) не определена (так как аргумент выходит за допустимый диапазон).

• Аналогично при \( x \to 1^- \), \( 1/(x-1) \to -\infty \), тоже не определено.

Поэтому данное утверждение — неверно.

---

Итог

• Утверждение 1 — не корректно для \( x \to 1 \).

• Утверждение 2 — неверно, т.к. \( x+1 \to 2 \), за пределами области определения \( \arcsin \).

• Утверждение 3 — верно, так как при \( x \to 1 \), \( x-1 \to 0 \), а \( \arcsin y \sim y \) при \( y \to 0 \).

• Утверждение 4 — неверно, потому что \( \arcsin(1/(x-1)) \) не определено при \( x \to 1 \).

---

Ответ — 3

Правильное число: 3

---

Если требуется, я могу помочь еще подробнее!