При x→1x→1 указать все верные утверждения: arcsinx∼xarcsin⁡x∼x  arcsin(x+1)∼(x+1)arcsin⁡(x+1)∼(x+1)  arcsin(x−1)∼(x−1)arcsin⁡(x−1)∼(x−1)  arcsin1x−1∼1x−1arcsin⁡1x−1∼1x−1 Выберите один ответ: 1 34 4 12 3

Давайте подробно разберем каждое утверждение, чтобы понять, какие из них верны при \( x \to 1 \). --- ### Введение Функция \( \arcsin x \) (арк sine или arcsin) — обратная функция к \( \sin x \), определенная на интервале \([-1, 1]\). При \( x \to 1 \), значение \( \arcsin x \to \frac{\pi}{2} \). Нас интересуют асимптотические поведения выражений при \( x \to 1 \). --- ### Рассмотрим каждое утверждение отдельно --- ## 1. \( \arcsin x \sim x \) Это утверждение утверждает, что при \( x \to 0 \), \( \arcsin x \sim x \). **Однако в условии \(\to 1\), а не \(\to 0\).** На самом деле, при \( x \to 1 \), \( \arcsin 1 = \pi/2 \). Так что \( \arcsin x \) при \( x \to 1 \) стремится к \( \pi/2 \), а не к \( x \). Следовательно, в окрестности \( x=1 \), отношение \( \arcsin x / x \) не стремится к 1, а имеет другой предел. --- ## 2. \( \arcsin (x+1) \sim (x+1) \) Аналогично, эта асимптота первая хорошо работает при \( x \to 0 \), потому что \( \arcsin y \sim y \) при \( y \to 0 \). Но в случае \( x \to 1 \): - \( x+1 \to 2 \), и \( \arcsin (x+1) \to \arcsin 2 \), а так как \( \arcsin y \) неопределено вне \([-1,1]\), то при \( x \to 1 \), \( x+1 \to 2 \), и \( \arcsin 2 \) — не существует, то есть это неверное утверждение. --- ## 3. \( \arcsin(x-1) \sim (x-1) \) Рассматриваем поведение при \( x \to 1 \). - Тогда \( x-1 \to 0 \), - и \( \arcsin(x-1) \sim x-1 \) при \( x-1 \to 0 \). Это действительно правильно, потому что \( \arcsin y \sim y \) при \( y \to 0 \). То есть **эти утверждение верно**. --- ## 4. \( \arcsin(1/(x-1)) \sim 1/(x-1) \) При \( x \to 1 \), \( x-1 \to 0 \). Тогда \( 1/(x-1) \) — стремится к \( \pm \infty \). Функция \( \arcsin y \) для больших \(|y|\) не определена для \( |y| > 1 \). - Если \( x \to 1^+ \), то \( x-1 \to 0^+ \), и \( 1/(x-1) \to +\infty \). Тогда \( \arcsin (1/(x-1)) \) не определена (так как аргумент выходит за допустимый диапазон). - Аналогично при \( x \to 1^- \), \( 1/(x-1) \to -\infty \), тоже не определено. Поэтому данное утверждение — **неверно**. --- ### Итог - Утверждение 1 — **не корректно** для \( x \to 1 \). - Утверждение 2 — неверно, т.к. \( x+1 \to 2 \), за пределами области определения \( \arcsin \). - Утверждение 3 — **верно**, так как при \( x \to 1 \), \( x-1 \to 0 \), а \( \arcsin y \sim y \) при \( y \to 0 \). - Утверждение 4 — неверно, потому что \( \arcsin(1/(x-1)) \) не определено при \( x \to 1 \). --- ### Ответ — **3** Правильное число: **3** --- Если требуется, я могу помочь еще подробнее!