Давайте решим задачу: ((\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{60}).
Шаг 1. Раскроем квадрат первой части: ((\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2).
Используем формулу ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2).
- (a = \sqrt{5})
- (b = 2\sqrt{3})
Тогда:
[
(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2
]
Шаг 2. Вычисляем каждое из слагаемых:
- ((\sqrt{5})^2 = 5)
- (2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \sqrt{5} \sqrt{3} = 4 \sqrt{15})
- ((2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12)
Итак, сумма:
[
5 + 4 \sqrt{15} + 12 = (5 + 12) + 4 \sqrt{15} = 17 + 4 \sqrt{15}
]
Шаг 3. Теперь вычитаем (2 \sqrt{60}).
Рассчитаем (\sqrt{60}):
[
\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{4} \times \sqrt{15} = 2 \sqrt{15}
]
Значит:
[
2 \sqrt{60} = 2 \times 2 \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}
]
Шаг 4. Итоговое выражение:
[
(17 + 4 \sqrt{15}) - 4 \sqrt{15}
]
Шаг 5. Выполним вычитание:
[
17 + 4 \sqrt{15} - 4 \sqrt{15} = 17
]
Ответ: (\boxed{17}).
