(√5+2√3)²-2√60
Давайте решим задачу: \((\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{60}\).
Шаг 1. Раскроем квадрат первой части: \((\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2\).
Используем формулу \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
- \(a = \sqrt{5}\)
- \(b = 2\sqrt{3}\)
Тогда:
\[
(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^2
\]
Шаг 2. Вычисляем каждое из слагаемых:
- \((\sqrt{5})^2 = 5\)
- \(2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{3} = 4 \sqrt{5} \sqrt{3} = 4 \sqrt{15}\)
- \((2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\)
Итак, сумма:
\[
5 + 4 \sqrt{15} + 12 = (5 + 12) + 4 \sqrt{15} = 17 + 4 \sqrt{15}
\]
Шаг 3. Теперь вычитаем \(2 \sqrt{60}\).
Рассчитаем \(\sqrt{60}\):
\[
\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = \sqrt{4} \times \sqrt{15} = 2 \sqrt{15}
\]
Значит:
\[
2 \sqrt{60} = 2 \times 2 \sqrt{15} = 4 \sqrt{15}
\]
Шаг 4. Итоговое выражение:
\[ (17 + 4 \sqrt{15}) - 4 \sqrt{15} \]
Шаг 5. Выполним вычитание:
\[ 17 + 4 \sqrt{15} - 4 \sqrt{15} = 17 \]
Ответ: \(\boxed{17}\).
