Конечно! Ниже приведено подробное решение для каждого задания по алгебре 9 класса. Я подготовил ответы в соответствии с требованиями — на русском языке, с детальными объяснениями и пошаговым подходом.
Задача 12
Найдите значение выражения:
[ 5m - 25m - 5 \times 24m^2 + 6m^2 + 5m^2, \quad \text{при } m = -1 ]
Пошаговое решение:
Подставим значение ( m = -1 ) в выражение:
[ 5(-1) - 25(-1) - 5 \times 24 \times (-1)^2 + 6 \times (-1)^2 + 5 \times (-1)^2 ]
Посчитаем каждое слагаемое:
- ( 5(-1) = -5 )
- ( -25(-1) = +25 )
- ( -5 \times 24 \times 1 = -5 \times 24 = -120 )
- ( 6 \times 1 = 6 )
- ( 5 \times 1 = 5 )
Теперь сложим все полученные значения:
[ -5 + 25 - 120 + 6 + 5 ]
Выполняем по порядку:
- ( -5 + 25 = 20 )
- ( 20 - 120 = -100 )
- ( -100 + 6 = -94 )
- ( -94 + 5 = -89 )
Ответ: (\boxed{-89})
Задача 13
Решите систему неравенств:
[
\begin{cases}
(x + 4)(x + 5) - x \leq 5 \
3x(x - 2) + 1 > (x - 1)^2
\end{cases}
]
Пошаговое решение:
Первое неравенство:
[
(x + 4)(x + 5) - x \leq 5
]
Раскроем скобки:
[ x^2 + 5x + 4x + 20 - x \leq 5 ]
[ x^2 + (5x + 4x - x) + 20 \leq 5 ]
[ x^2 + 8x + 20 \leq 5 ]
Перенесем 5 в левую часть:
[ x^2 + 8x + 20 - 5 \leq 0 ]
[ x^2 + 8x + 15 \leq 0 ]
Найдем корни квадратного уравнения:
[ x^2 + 8x + 15 = 0 ]
Дискриминант:
[ D = 8^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4 ]
Корни:
[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 \pm 2}{2} ]
[ x_1 = \frac{-8 + 2}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-8 - 2}{2} = -5 ]
Поскольку коэффициент при ( x^2 \ положительный, неравенство (\leq 0) выполняется на интервале между корнями:
[ \boxed{-5 \leq x \leq -3} ]
Второе неравенство:
[ 3x(x - 2) + 1 > (x - 1)^2 ]
Раскроем скобки:
[ 3x^2 - 6x + 1 > x^2 - 2x + 1 ]
Перенесем все в левую сторону:
[ 3x^2 - 6x + 1 - x^2 + 2x - 1 > 0 ]
[ (3x^2 - x^2) + (-6x + 2x) + (1 - 1) > 0 ]
[ 2x^2 - 4x > 0 ]
Выделим общий множитель:
[ 2x(x - 2) > 0 ]
Это неравенство выполняется, когда произведение положительно. Значит, либо оба множителя положительны, либо оба отрицательны.
( 2x > 0 \Rightarrow x > 0 ) и ( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 ).
Объединение для этого варианта: ( x > 2 ).
( 2x < 0 \Rightarrow x < 0 ) и ( x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2 ).
Объединение: ( x < 0 ).
Итоговая область для второго неравенства:
[ x < 0 \quad \text{или} \quad x > 2 ]
Общая решение системы:
Пересечение двух интервалов:
[ x \in [-5, -3], \quad x < 0 \quad \text{или} \quad x > 2 ]
Пересечение с первым интервалом ([-5, -3]) и (x < 0):
Так как ( [-5, -3] \subset (-\infty, 0] ), то совпадение интервалов:
[ x \in [-5, -3] ]
Область решения:
[
\boxed{
x \in [-5, -3] \quad \text{или} \quad x > 2
}
]
Задача 14
Катер выходит из пункта со скоростью относительно воды (v = ?), течением (w = 5 \text{ км/ч}). Знаем, что:
За 75 км по течению и против течения затрачено в два раза больше времени, чем на 80 км по спокойной воде. Найти (v).
Обозначения:
- (v) — собственная скорость катера (неизвестная).
- (w = 5 \text{ км/ч}).
Пусть:
- Время на 80 км в спокойной воде: ( t_0 = \frac{80}{v} ).
- Время на 75 км по течению: ( t_1 = \frac{75}{v + w} ).
- Время на 75 км против течения: ( t_2 = \frac{75}{v - w} ).
По условию:
[
t_1 + t_2 = 2t_0
]
Подставим:
[
\frac{75}{v + 5} + \frac{75}{v - 5} = 2 \times \frac{80}{v}
]
Обозначим:
[
\frac{75}{v + 5} + \frac{75}{v - 5} = \frac{2 \times 80}{v} = \frac{160}{v}
]
Найдем левую часть:
[
75 \left( \frac{1}{v + 5} + \frac{1}{v - 5} \right) = 75 \times \frac{(v - 5) + (v + 5)}{(v + 5)(v - 5)} = 75 \times \frac{2v}{v^2 - 25}
]
Значит:
[
\frac{150 v}{v^2 - 25} = \frac{160}{v}
]
Перемножим обе части на (v^2 - 25) и на (v):
[
150 v^2 = 160 (v^2 - 25)
]
Раскроем правую часть:
[
150 v^2 = 160 v^2 - 160 \times 25 \Rightarrow 150 v^2 = 160 v^2 - 4000
]
Перенесем все в левую сторону:
[
150 v^2 - 160 v^2 = -4000 \Rightarrow -10 v^2 = -4000
]
Делим обе части на (-10):
[
v^2 = 400
]
Искомое значение:
[
v = \pm 20
]
Скорость катера не может быть отрицательной, следовательно:
[
v = \boxed{20 \text{ км/ч}}
]
Задача 15
Из 14 претендентов (6 женщин, 8 мужчин) нужно выбрать:
- 4 женщин по первому виду работ
- 6 мужчин по второму виду работ
- 3 работника без учета пола по третьему виду работ
Посчитаем количество способов:
Выбрать 4 женщин из 6:
[
C_6^4 = 15
]
Выбрать 6 мужчин из 8:
[
C_8^6 = 28
]
Выбрать 3 работников из оставшихся (всего 14, но уже выбраны 4 женщины и 6 мужчин, всего 10, значит осталось 4 человека - 2 женщины и 2 мужчины, выбор из них):
Но по условию, всего 14 человек, из них 6 женщин и 8 мужчин. Для выборов без учета пола и конкретной разделки, скорее всего, речь идет о сочетании — все 14 претендентов можно выбрать для этого варианта в определенных сочетаниях, учитывая условия задания, пересчитаем:
Но, судя по условию, очевидно, что выбор — это:
- 4 женщин из 6
- 6 мужчин из 8
- 3 работника из оставшихся (всего 14)
Количество способов выбрать 3 работников из оставшихся 2 женщин и 2 мужчин:
[ C_4^3 = 4 \quad \text{(так как осталось 4 человека)} ]
Итак, полное количество способов:
[ C_6^4 \times C_8^6 \times C_4^3 = 15 \times 28 \times 4 = 1680 ]
Ответ: (\boxed{1680})
Задача 16
Найти сумму ординат точек пересечения графиков уравнений:
[
y = x - 3
]
[
x^2 + y^2 = 9
]
Пошаговое решение:
Подставим ( y = x - 3 ) в уравнение окружности:
[ x^2 + (x - 3)^2 = 9 ]
Раскроем скобки:
[ x^2 + x^2 - 6x + 9 = 9 ]
Объединим похожие члены:
[ 2x^2 - 6x + 9 = 9 ]
Перенесем 9 в левую сторону:
[ 2x^2 - 6x = 0 ]
Вынесем общий множитель:
[ 2x (x - 3) = 0 ]
Получаем два корня:
[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3 ]
Найдём соответствующие ординаты:
- Для ( x = 0 ):
[ y = 0 - 3 = -3 ]
- Для ( x = 3 ):
[ y = 3 - 3 = 0 ]
- Сумма ординат:
[ -3 + 0 = -3 ]
Ответ: (\boxed{-3})
Задача 17
Арифметическая прогрессия:
- Первый член ( a_1 = a )
- Первый 10 членов: сумма 300:
[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + (10-1)d) = 5(2a + 9d) = 300 \Rightarrow 2a + 9d = 60 ]
- 4-й член:
[ a_4 = a + 3d = 21 ]
Найдем ( a ) и ( d ):
Из второго уравнения:
[ a + 3d = 21 \Rightarrow a = 21 - 3d ]
Подставим в первое:
[ 2(21 - 3d) + 9d = 60 ]
[ 42 - 6d + 9d = 60 ]
[ 42 + 3d = 60 ]
[ 3d = 18 \Rightarrow d = 6 ]
Тогда
[ a = 21 - 3 \times 6 = 21 - 18 = 3 ]
Найдем сумму 3-й и 6-й членов:
[ a_3 = a + 2d = 3 + 2 \times 6 = 3 + 12 = 15 ]
[ a_6 = a + 5d = 3 + 5 \times 6 = 3 + 30 = 33 ]
Их сумма:
[ 15 + 33 = 48 ]
Ответ: (\boxed{48})
Задача 18
Упростите выражение:
[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + \frac{3 - 3 \cos^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} ]
Пошаговое решение:
Используем тождество:
[ 1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} ]
Переведем дробь:
[ \frac{3 - 3 \cos^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = (3 - 3 \cos^2 \alpha) \times \cos^2 \alpha ]
Раскроем:
[ 3 \cos^2 \alpha - 3 \cos^4 \alpha ]
Теперь упростим сумму первых двух слагаемых:
[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha ]
Применим формулу разностных степеней:
[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 ]
Обратимся к формуле суммы кубов:
[ a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) ]
Здесь:
[ a = \sin^2 \alpha, \quad b = \cos^2 \alpha ]
Так как:
[ a + b = 1 ]
Следовательно:
[ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = 1^3 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha ]
- Итоговое выражение:
[
(1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) + 3 \cos^2 \alpha - 3 \cos^4 \alpha
]
Объединим:
[
1 + 3 \cos^2 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 \cos^4 \alpha
]
Заменим (\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha):
[
- 3 (1 - \cos^2 \alpha) \cos^2 \alpha = - 3 (\cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha) = -3 \cos^2 \alpha + 3 \cos^4 \alpha
]
Теперь выражение:
[
1 + 3 \cos^2 \alpha - 3 \cos^2 \alpha + 3 \cos^4 \alpha - 3 \cos^4 \alpha = 1
]
Ответ: (\boxed{1})
Задача 19
Точка (A(m; 2)) лежит на графике уравнения:
[ y^2 - 2xy + 3x = y + 4 ]
Найти (m).
Пошаговое решение:
- Подставляем ( x = m, y = 2 ):
[ (2)^2 - 2 \times m \times 2 + 3m = 2 + 4 ]
Вычисляем:
[ 4 - 4m + 3m = 6 ]
Упростим:
[ 4 - m = 6 \Rightarrow -m = 2 \Rightarrow m = -2 ]
Ответ: (\boxed{-2})
Если нужны еще разъяснения или помощь с каким-либо заданием, обращайтесь!
