11. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой в графику функции: f(x) = x3 - 5x2 - 9x + 3 в точке = 2
Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.
Задача: Найти угловой коэффициент касательной к графику функции \( f(x) = x^3 - 5x^2 - 9x + 3 \) в точке \( x = 2 \).
Шаг 1: Найти значение функции в точке \( x=2 \)
Это даст координату \( y \) точки касания.
\[ f(2) = (2)^3 - 5 \times (2)^2 - 9 \times 2 + 3 \]
Вычислим по частям:
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 2^2 = 4 \), умножим на 5: \( 5 \times 4 = 20 \)
- \( 9 \times 2 = 18 \)
Подставим значения:
\[ f(2) = 8 - 20 - 18 + 3 \]
Выполним сложение и вычитание:
\[ 8 - 20 = -12 \\ -12 - 18 = -30 \\ -30 + 3 = -27 \]
Ответ на первый шаг:
\[ f(2) = -27 \]
Шаг 2: Найти производную функции \( f'(x) \)
Производная функции даст наклон касательной в любой точке \( x \).
Для функции:
\[ f(x) = x^3 - 5x^2 - 9x + 3 \]
примем производную по правилам дифференцирования:
\[ f'(x) = 3x^2 - 2 \times 5 x - 9 = 3x^2 - 10x - 9 \]
Шаг 3: Вычислить значение производной в точке \( x=2 \)
\[ f'(2) = 3 \times (2)^2 - 10 \times 2 - 9 \]
Посчитаем:
- \( 2^2 = 4 \)
- \( 3 \times 4 = 12 \)
- \( 10 \times 2 = 20 \)
Подставим:
\[ f'(2) = 12 - 20 - 9 = (12 - 20) - 9 = -8 - 9 = -17 \]
Ответ на третий шаг:
\[ f'(2) = -17 \]
Итог:
Угловой коэффициент касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( x=2 \) равен -17.
Если нужно, я могу помочь построить график или объяснить, как найти уравнение касательной.
