Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.
Задача: Найти угловой коэффициент касательной к графику функции ( f(x) = x^3 - 5x^2 - 9x + 3 ) в точке ( x = 2 ).
Шаг 1: Найти значение функции в точке ( x=2 )
Это даст координату ( y ) точки касания.
[
f(2) = (2)^3 - 5 \times (2)^2 - 9 \times 2 + 3
]
Вычислим по частям:
- ( 2^3 = 8 )
- ( 2^2 = 4 ), умножим на 5: ( 5 \times 4 = 20 )
- ( 9 \times 2 = 18 )
Подставим значения:
[
f(2) = 8 - 20 - 18 + 3
]
Выполним сложение и вычитание:
[
8 - 20 = -12 \
-12 - 18 = -30 \
-30 + 3 = -27
]
Ответ на первый шаг:
[
f(2) = -27
]
Шаг 2: Найти производную функции ( f'(x) )
Производная функции даст наклон касательной в любой точке ( x ).
Для функции:
[
f(x) = x^3 - 5x^2 - 9x + 3
]
примем производную по правилам дифференцирования:
[
f'(x) = 3x^2 - 2 \times 5 x - 9 = 3x^2 - 10x - 9
]
Шаг 3: Вычислить значение производной в точке ( x=2 )
[
f'(2) = 3 \times (2)^2 - 10 \times 2 - 9
]
Посчитаем:
- ( 2^2 = 4 )
- ( 3 \times 4 = 12 )
- ( 10 \times 2 = 20 )
Подставим:
[
f'(2) = 12 - 20 - 9 = (12 - 20) - 9 = -8 - 9 = -17
]
Ответ на третий шаг:
[
f'(2) = -17
]
Итог:
Угловой коэффициент касательной к графику функции ( f(x) ) в точке ( x=2 ) равен -17.
Если нужно, я могу помочь построить график или объяснить, как найти уравнение касательной.
