12. Запишите уравнение касательной к графику функции в точке х0 = - 1: f(x) = x² - 3x + 4

Давайте подробно разберем задачу: нам нужно найти уравнение касательной к графику функции в точке \( x_0 = -1 \), где функция задана как \( f(x) = x^2 - 3x + 4 \).

Шаг 1. Найдите значение функции в точке \( x_0 = -1 \)

Чтобы найти точку касания (точку касательной), нам нужно знать координату точки, в которой касательная касается графика. То есть — вычислим \( f(-1) \):

\[ f(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 4 = 1 + 3 + 4 = 8 \]

Следовательно, точка касания: \( (-1, 8) \).

Шаг 2. Найдите производную функции \( f(x) \)

Производная \( f'(x) \) даст наклон касательной в любой точке:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 4) = 2x - 3 \]

Шаг 3. Вычислите наклон касательной в точке \( x_0 = -1 \)

Подставляем \( x = -1 \) в производную:

\[ f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \]

Это и есть наклон касательной.

Шаг 4. Запишите уравнение касательной

Уравнение касательной линии в точке \( (x_0, y_0) \) по точке и наклону:

\[ y - y_0 = m (x - x_0) \]

Где:

• \( x_0 = -1 \),
• \( y_0 = 8 \),
• \( m = -5 \).

Подставим:

\[ y - 8 = -5 (x + 1) \]

Раскроем скобки:

\[ y - 8 = -5x - 5 \]

И получим окончательное уравнение:

\[ y = -5x - 5 + 8 = -5x + 3 \]

Ответ:

Уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^2 - 3x + 4 \) в точке \( x_0 = -1 \):

\[ \boxed{ y = -5x + 3 } \]