Давайте подробно разберем задачу: нам нужно найти уравнение касательной к графику функции в точке ( x_0 = -1 ), где функция задана как ( f(x) = x^2 - 3x + 4 ).
Шаг 1. Найдите значение функции в точке ( x_0 = -1 )
Чтобы найти точку касания (точку касательной), нам нужно знать координату точки, в которой касательная касается графика.
То есть — вычислим ( f(-1) ):
[
f(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 4 = 1 + 3 + 4 = 8
]
Следовательно, точка касания: ( (-1, 8) ).
Шаг 2. Найдите производную функции ( f(x) )
Производная ( f'(x) ) даст наклон касательной в любой точке:
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 4) = 2x - 3
]
Шаг 3. Вычислите наклон касательной в точке ( x_0 = -1 )
Подставляем ( x = -1 ) в производную:
[
f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5
]
Это и есть наклон касательной.
Шаг 4. Запишите уравнение касательной
Уравнение касательной линии в точке ( (x_0, y_0) ) по точке и наклону:
[
y - y_0 = m (x - x_0)
]
Где:
- ( x_0 = -1 ),
- ( y_0 = 8 ),
- ( m = -5 ).
Подставим:
[
y - 8 = -5 (x + 1)
]
Раскроем скобки:
[
y - 8 = -5x - 5
]
И получим окончательное уравнение:
[
y = -5x - 5 + 8 = -5x + 3
]
Ответ:
Уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^2 - 3x + 4 ) в точке ( x_0 = -1 ):
[
\boxed{
y = -5x + 3
}
]
