х⁴=16

Давайте решим уравнение \( x^4 = 16 \) пошагово и подробно объясним каждый этап.

Шаг 1. Запись исходного уравнения: \[ x^4 = 16 \]

Шаг 2. Понимание уравнения: Это уравнение показывает, что число \( x \), возводимое в четвертую степень, равно 16.

Шаг 3. Нахождение корней: Чтобы решить это уравнение, можно сделать несколько подходов. Самый простой — определить, при каких значениях \( x \), возводя их в четвертую степень, получится 16.

Шаг 4. Использование свойства степени: Обозначим: \[ x^4 = 16 \] или \[ x^4 = 2^4 \] так как \( 16 = 2^4 \).

Это равносильно тому, что: \[ (x)^4 = (2)^4 \]

Шаг 5. Нахождение всех корней: Известно, что уравнение вида \( x^4 = a \), где \( a > 0 \), имеет четыре корня (учитывая комплексные), так как четвертая степень — это функция даже степени.

• В реальных числах решения:

  \[ x = \pm \sqrt{2} \] потому что:

  \[ (\pm \sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = ( (\sqrt{2})^2 )^2 = (2)^2 = 4 \]

  Но обратите внимание, что это не совпадает с \( 16 \), поэтому лучше использовать преобразование с корнями.

Шаг 6. Используем корень четвертой степени: Четвертая степень числа \( x \) равна 16, значит:

\[ x = \pm \sqrt[4]{16} \]

Здесь:

\[ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 \]

поэтому решения:

\[ x = \pm 2 \]

Но существует еще комплексные решения, связанные с комплексными корнями четвертой степени числа 16.

Шаг 7. Находим комплексные корни: Рассмотрим комплексные числа в полярной форме. Число 16 можно представить как:

\[ 16 = 16 (\cos 0^\circ + i \sin 0^\circ) \]

Четвертая корень из этого числа даёт четыре решения:

\[ x_k = r^{1/4} (\cos(\frac{\theta + 2\pi k}{4}) + i \sin(\frac{\theta + 2\pi k}{4})) \]

где \( r = 16 \), \( \theta = 0 \), \( k = 0, 1, 2, 3 \).

Вычислим:

\[ r^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2 \]

и

\[ x_k = 2 (\cos(\frac{0 + 2\pi k}{4}) + i \sin(\frac{0 + 2\pi k}{4})) \]

Для каждого k:

• \( k=0 \):

  \[ x_0 = 2 (\cos 0 + i \sin 0 ) = 2 (1 + 0i) = 2 \]

• \( k=1 \):

  \[ x_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 2 (0 + i \cdot 1) = 2i \]

• \( k=2 \):

  \[ x_2 = 2 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 2 (-1 + 0i) = -2 \]

• \( k=3 \):

  \[ x_3 = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 2 (0 - i) = -2i \]

ИТОГ:

Все комплексные решения уравнения \( x^4 = 16 \):

\[ \boxed{ x = 2,\quad -2,\quad 2i,\quad -2i } \]

Реальные решения:

\[ \boxed{ x = \pm 2 } \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с подобными уравнениями, обращайтесь!