Х⁴=16

Давайте решим уравнение \( x^4 = 16 \) пошагово и подробно объясним каждый этап. Шаг 1. Запись исходного уравнения: \[ x^4 = 16 \] Шаг 2. Понимание уравнения: Это уравнение показывает, что число \( x \), возводимое в четвертую степень, равно 16. Шаг 3. Нахождение корней: Чтобы решить это уравнение, можно сделать несколько подходов. Самый простой — определить, при каких значениях \( x \), возводя их в четвертую степень, получится 16. Шаг 4. Использование свойства степени: Обозначим: \[ x^4 = 16 \] или \[ x^4 = 2^4 \] так как \( 16 = 2^4 \). Это равносильно тому, что: \[ (x)^4 = (2)^4 \] Шаг 5. Нахождение всех корней: Известно, что уравнение вида \( x^4 = a \), где \( a > 0 \), имеет четыре корня (учитывая комплексные), так как четвертая степень — это функция даже степени. - В реальных числах решения: \[ x = \pm \sqrt{2} \] потому что: \[ (\pm \sqrt{2})^4 = (\sqrt{2})^4 = ( (\sqrt{2})^2 )^2 = (2)^2 = 4 \] Но обратите внимание, что это не совпадает с \( 16 \), поэтому лучше использовать преобразование с корнями. Шаг 6. Используем корень четвертой степени: Четвертая степень числа \( x \) равна 16, значит: \[ x = \pm \sqrt[4]{16} \] Здесь: \[ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 \] поэтому решения: \[ x = \pm 2 \] Но существует еще комплексные решения, связанные с комплексными корнями четвертой степени числа 16. Шаг 7. Находим комплексные корни: Рассмотрим комплексные числа в полярной форме. Число 16 можно представить как: \[ 16 = 16 (\cos 0^\circ + i \sin 0^\circ) \] Четвертая корень из этого числа даёт четыре решения: \[ x_k = r^{1/4} (\cos(\frac{\theta + 2\pi k}{4}) + i \sin(\frac{\theta + 2\pi k}{4})) \] где \( r = 16 \), \( \theta = 0 \), \( k = 0, 1, 2, 3 \). Вычислим: \[ r^{1/4} = \sqrt[4]{16} = 2 \] и \[ x_k = 2 (\cos(\frac{0 + 2\pi k}{4}) + i \sin(\frac{0 + 2\pi k}{4})) \] Для каждого k: - \( k=0 \): \[ x_0 = 2 (\cos 0 + i \sin 0 ) = 2 (1 + 0i) = 2 \] - \( k=1 \): \[ x_1 = 2 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = 2 (0 + i \cdot 1) = 2i \] - \( k=2 \): \[ x_2 = 2 \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = 2 (-1 + 0i) = -2 \] - \( k=3 \): \[ x_3 = 2 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right) = 2 (0 - i) = -2i \] **ИТОГ:** **Все комплексные решения уравнения \( x^4 = 16 \):** \[ \boxed{ x = 2,\quad -2,\quad 2i,\quad -2i } \] **Реальные решения:** \[ \boxed{ x = \pm 2 } \] Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с подобными уравнениями, обращайтесь!