В колонию из 16 черный бактерий попадает белая бактерия. Каждую секунду белая бактерия уничтожает одну чёрную бактерию, после чего все бактерии делятся надвое Через сколько секунд…

Рассмотрим задачу:

• В начале в колонии 16 черных бактерий и 1 белая бактерия.
• Каждую секунду происходит два действия:
  1. Белая бактерия уничтожает одну черную бактерию.
  2. Все бактерии делятся надвое (каждая бактерия делится на две).

Цель — определить, через сколько секунд останутся только белые бактерии.

Разобьём решение на шаги.

---

Шаг 1: Начальные условия

На 0-й секунде:

• Черных бактерий: 16
• Белых бактерий: 1

---

Шаг 2: Первый цикл (первая секунда)

1. Белая бактерия уничтожает одну черную.

   • Черных бактерий осталось: 16 - 1 = 15
   • Белых бактерий: 1 (белая не исчезает из-за этого действия)

2. Все бактерии делятся пополам:

   • Черных: 15 × 2 = 30
   • Белых: 1 × 2 = 2

Итого в конце первой секунды:

• Черных: 30
• Белых: 2

---

Шаг 3: Второй цикл (вторая секунда)

Повторяем действия:

1. Белая бактерия уничтожает одну черную:

   • Черных: 30 - 1 = 29
   • Белых: 2 (не исчезает)

2. Деление бактерий:

   • Черных: 29 × 2 = 58
   • Белых: 2 × 2 = 4

Итого после второй секунды:

• Черных: 58
• Белых: 4

---

Шаг 4: Общий вывод о динамике

За каждую секунду:

• Белых бактерий: умножаются на 2
• Черных бактерий: в основном увеличиваются вдвое, но при этом уничтожается по одной черной бактерии белой

Количество черных бактерий после n секунд:

Обозначим через \( C_n \), количество черных бактерий после n секунд.

Количество белых бактерий после n секунд:

Обозначим через \( W_n \).

Изначально:

\[ C_0 = 16, \quad W_0 = 1 \]

На каждую секунду:

• \( W_{n} = 2 \times W_{n-1} \)
• \( C_{n} = 2 \times C_{n-1} - 1 \)

Пояснения по формуле для черных бактерий:

• Вначале черных: \( C_{n-1} \)
• После деления: \( 2 \times C_{n-1} \)
• После уничтожения одной черной белой: минус 1 каждой секунды

Следовательно:

\[ C_{n} = 2 C_{n-1} - 1 \]

---

Шаг 5: Решение для белых бактерий

\[ W_n = 2^n \times W_0 = 2^n \]

Поскольку изначально было 1 белая бактерия:

\[ W_n = 2^n \]

---

Шаг 6: Решение для черных бактерий

Решим рекуррентное уравнение:

\[ C_{n} = 2 C_{n-1} - 1 \]

Начальное условие:

\[ C_0 = 16 \]

Решение такой рекуррентной формулы:

Обозначим:

\[ C_{n} + 1 = 2 (C_{n-1} + 1) \]

Это равно:

\[ C_{n} + 1 = 2 C_{n-1} + 2 \]

Значит:

\[ C_{n} + 1 = 2 (C_{n-1} + 1) \]

Это геометрическая прогрессия, с начальным значением:

\[ C_0 + 1 = 16 + 1 = 17 \]

Следовательно:

\[ C_{n} + 1 = 17 \times 2^n \]

Отсюда:

\[ C_{n} = 17 \times 2^n - 1 \]

---

Шаг 7: Условие, когда останутся только белые

Для этого нужно, чтобы количество черных бактерий \( C_n \) стало равно нулю или меньше:

\[ C_n \leq 0 \]

Рассмотрим, когда это произойдёт:

\[ 17 \times 2^n - 1 \leq 0 \] \[ 17 \times 2^n \leq 1 \]

Но \( 17 \times 2^n \geq 17 \) для всех \( n \geq 0 \). Значит, черных бактерий никогда не станет ровно 0, только уменьшится до очень малого количества, но по выражению:

\[ C_n = 17 \times 2^n - 1 \]

оно становится равным нулю, когда:

\[ 17 \times 2^n = 1 \]

что невозможно при целых \( n \), поскольку \( 2^n \geq 1 \), и \( 17 \times 2^n \) не может стать равным 1.

Но можно понять, что при больших \( n \), \( C_n \) растёт очень быстро, и только при очень больших \( n \), \( C_n \) станет значительным.

Однако — нам важно понять, когда все черные бактерии исчезнут, чтобы остались только белые.

Происходит это только — при условии что черных бактерий удастся уничтожить, то есть \( C_n = 0 \) или меньше.

Рассмотрим, что произойдет, когда белая бактерия уничтожает всех черных бактерий:

• Каждую секунду белая уничтожает одну черную.
• Число черных после \( n \) секунд:

\[ C_n = 17 \times 2^n - 1 \]

Черных бактерий станет меньше или равно 1, когда:

\[ 17 \times 2^n - 1 \leq 1 \] \[ 17 \times 2^n \leq 2 \] \[ 2^n \leq \frac{2}{17} \]

Это невозможно для натуральных \( n \), так как \( 2^n \geq 1 \).

---

Шаг 8: Перепроверка логики

В процессе:

• Белая бактерия уничтожает одну черную каждую секунду.
• Черных бактерий растет вдвое, а белые—делятся.

Модель показывает, что черных бактерий будет очень много, а белых — экспоненциально растет.

Рациональное зерно: поскольку черных бактерий экспоненциально много, а белых лишь одна, которая делится, — исчезнет только при наличии дополнительных условий или ошибок в понимании.

---

Альтернативный подход: Анализировать, сколько времени потребуется, чтобы уничтожить всех черных бактерий, и сравнить с ростом белых.

• За n секунд белых бактерий: \( W_n = 2^n \)
• За n секунд уничтожается \( n \) черных бактерий (по одному за каждую секунду).

Чтобы уничтожить всех черных:

\[ n \geq 16 \] (так как изначально 16 черных бактерий).

Итак, пусть \( n \geq 16 \). К тому времени:

Черных: \( C_n = 17 \times 2^n - 1 \)

Белых: \( W_n = 2^n \)

Чтобы белых стало столько, сколько было бы достаточно для уничтожения всех черных, нужно чтобы:

\[ W_n \geq C_n \]

или:

\[ 2^n \geq 17 \times 2^n - 1 \] \[ 0 \geq 16 \times 2^n - 1 \] \[ 16 \times 2^n \leq 1 \]

Это невозможно при \( n \geq 16 \).

Вывод: Черных бактерий никогда не становится ноль, они остаются очень большими.

---

Вывод:

• Будет продолжаться борьба, белые бактерии быстрого роста, черные — тоже.
• В задаче, при таких условиях, черных бактерий будет оставаться всегда.

Но, если мы предполагаем, что процесс продолжается до того, как количество черных станет равно нулю, то:

• Белых бактерий на момент, когда остается ровно 1 черный (минимум), будет \( 2^n \).
• Уничтожение одной черной за каждую секунду.

Чтобы полностью уничтожить всех черных бактерий:

\[ C_n = 17 \times 2^n - 1 \]

нужно, чтобы \( 17 \times 2^n - 1 \leq 1 \), что невозможно.

---

Заключение:

Если задача подразумевает, что белая бактерия уничтожит все черные — это невозможно по математике, так как черных бактерий растет очень быстро.

Но обычно в таких задачах предполагается, что белая бактерия уничтожает одну черную, а все бактерии делятся, и вопрос — через сколько секунд в колонии остаются только белые бактерии?

— Ответ: В теоретическом смысле, если уничтожать черных бактерий по одной каждую секунду, а белые бактерии делятся, то черных бактерий никогда полностью не исчезнет — они растут экспоненциально. Но если под условием — когда белая бактерия уничтожит всех черных (что, вероятно, — через 16 секунд, чтобы уничтожить всех изначальных 16 черных, при условии их уничтожения один раз в секунду), то:

• Предположим, что белая бактерия уничтожает по одной черной каждый второй.

Поскольку вначале:

• Черных: 16
• Белых: 1

Черных изначально 16, нужно 16 секунд, чтобы уничтожить их всех, при условии, что белая бактерия уничтожает одну черную каждую секунду.

За эти 16 секунд:

• Количество белых бактерий:

\[ W_{16} = 2^{16} = 65536 \]

поскольку белая бактерия делится каждую секунду.

То есть, через 16 секунд останутся только белые бактерии (так как все черные уничтожены).

---

Итоговый ответ:

Через 16 секунд останутся только белые бактерии.