Реши на 4
Давайте разберем каждую задачу по порядку и решим их подробно.
Задача 1. Решить уравнения:
а) \(\frac{x+2}{x+3} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)}\)
Шаг 1. Найти общий знаменатель.
Общий знаменатель — это произведение всех знаменателей: \((x+3)(x-1)\).
Шаг 2. Записать каждую дробь с этим знаменателем:
\[ \frac{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)} - \frac{(x+1)(x+3)}{(x-1)(x+3)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 3. Перенести дроби в левую часть и оставить правую.
\[ \frac{(x+2)(x-1) - (x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 4. Так как знаменатели одинаковы, сравним числители:
\[ (x+2)(x-1) - (x+1)(x+3) = 4 \]
Распишем скобки:
\[ (x+2)(x-1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2 \]
\[ (x+1)(x+3) = x^2 + 3x + x + 3 = x^2 + 4x + 3 \]
Подставляем обратно:
\[ x^2 + x - 2 - (x^2 + 4x + 3) = 4 \]
Упростим:
\[ x^2 + x - 2 - x^2 - 4x - 3 = 4 \]
\[ (x^2 - x^2) + (x - 4x) + (-2 - 3) = 4 \]
\[ -3x - 5 = 4 \]
Решаем уравнение:
\[ -3x = 4 + 5 = 9 \]
\[ x = -3 \]
Проверка:
Значение \(x = -3\) не запрещено, так как в знаменателе:
\((x+3) = 0 \rightarrow x = -3\), тогда знаменатель становится нулем. Значит, это значение недопустимо.
Вывод:
Ответ — нет решений (так как найденное значение делает знаменатель равным нулю).
б) \(\frac{2x}{x+6} - \frac{144}{x^2 - 36} = 1\)
Шаг 1. Разложим знаменатель:
\[ x^2 - 36 = (x+6)(x-6) \]
Шаг 2. Записываем уравнение:
\[ \frac{2x}{x+6} - \frac{144}{(x+6)(x-6)} = 1 \]
Шаг 3. Приведем к общему знаменателю \((x+6)(x-6)\):
\[ \frac{2x(x-6)}{(x+6)(x-6)} - \frac{144}{(x+6)(x-6)} = 1 \]
Шаг 4. Объединяем дроби:
\[ \frac{2x(x-6) - 144}{(x+6)(x-6)} = 1 \]
Шаг 5. Переносим 1 на левую сторону:
\[ \frac{2x(x-6) - 144}{(x+6)(x-6)} = 1 \]
Дополнительное уравнение:
\[ 2x(x-6) - 144 = (x+6)(x-6) \]
Шаг 6. Раскроем скобки:
\[ 2x^2 - 12x - 144 = x^2 - 36 \]
Шаг 7. Перенесем всё в левую сторону:
\[ 2x^2 - 12x - 144 - x^2 + 36 = 0 \]
\[ (2x^2 - x^2) - 12x + (-144 + 36) = 0 \]
\[ x^2 - 12x - 108 = 0 \]
Шаг 8. Решим квадратичное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = (-12)^2 - 4 \times 1 \times (-108) = 144 + 432 = 576 \]
Корни:
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{12 \pm 24}{2} \]
- Первый корень:
\[ x = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]
- Второй корень:
\[ x = \frac{12 - 24}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]
Шаг 9. Проверим допустимость:
Значения \(x = 18\) и \(x = -6\) не делают знаменатели нулевыми, кроме как \(x=-6\) — в данном случае это делит знаменатель \((x+6)\), он становится нулем, следовательно, это решение недопустимо.
Ответ:
\(\boxed{x=18}\).
в) \(\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y}\)
Шаг 1. Раскроем знаменатель в правой части:
\[ y^2 - 2y = y(y-2) \]
Шаг 2. Запишем уравнение:
\[ \frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \]
Шаг 3. Приведем левую часть к общему знаменателю \(y(y-2)\):
\[ \frac{(3y - 2)(y-2)}{y(y-2)} - \frac{y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \]
Шаг 4. Объединяем:
\[ \frac{(3y - 2)(y - 2) - y}{y(y - 2)} = \frac{3y +4}{y(y-2)} \]
Шаг 5. Умножим обе части на \(y(y-2)\):
\[ (3y - 2)(y - 2) - y = 3y + 4 \]
Шаг 6. Раскроем скобки:
\[ (3y)(y) - (3y)(2) - 2(y) + 2 \times 2 - y = 3y + 4 \]
\[ 3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y + 4 \]
Объединим подобные члены:
\[ 3y^2 - 6y - 2y - y + 4 = 3y + 4 \]
\[ 3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4 \]
Шаг 7. Перенесем всё в левую сторону:
\[ 3y^2 - 9y + 4 - 3y - 4 = 0 \]
\[ 3y^2 - 12y = 0 \]
Шаг 8. Вынесем общий множитель:
\[ 3y(y - 4) = 0 \]
Шаг 9. Решим:
\[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = 4 \]
Проверка недопустимых значений:
- В знаменателе есть \(y\) и \(y-2\),
- \(y = 0\) — не запрещает знак,
- \(y = 4\) — тоже допустимо.
Ответ:
\(\boxed{y=0}\) и \(\boxed{y=4}\).
Задача 2. Решить уравнения:
а) \(7x^2 - 9x + 2 = 0\)
**Шаг
