Реши с дискриминантом

Решим задачу с использованием дискриминанта. --- ### 1. Задачи по алгебре с рациональными выражениями #### а) Решить уравнение: \[ \frac{x+2}{x+3} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \] **Шаг 1:** Найти общий знаменатель – это произведение \((x+3)(x-1)\). **Шаг 2:** Привести левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)} - \frac{(x+1)(x+3)}{(x-1)(x+3)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \] **Шаг 3:** Сложить числители: \[ \frac{(x+2)(x-1) - (x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \] **Шаг 4:** Раскрыть скобки: \[ \frac{(x^2 - x + 2x - 2) - (x^2 + 3x + x + 3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \] Это: \[ \frac{x^2 + x - 2 - (x^2 + 4x + 3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \] **Шаг 5:** Упростить числитель: \[ \frac{x^2 + x - 2 - x^2 - 4x - 3}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \] Это: \[ \frac{-3x - 5}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \] **Шаг 6:** Так как знаменатели равны и не равны нулю, можем сравнить числители: \[ -3x - 5 = 4 \] **Шаг 7:** Решить уравнение: \[ -3x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \] **Шаг 8:** Проверка условий: изначально в знаменателях не должно быть нулей: - \(x \neq -3\) и \(x \neq 1\) Так как полученное решение \(x = -3\) делает знаменатель \(x + 3 = 0\), это недопустимо. Поэтому **нет решения**. --- #### б) Решить уравнение: \[ \frac{2x}{x+6} - \frac{144}{x^2 - 36} = 1 \] **Шаг 1:** Заметим, что \(x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\). **Шаг 2:** Замены не требуется; перейдём к приведению к общему знаменателю — это \( (x+6)(x-6) \): \[ \frac{2x(x-6)}{(x+6)(x-6)} - \frac{144}{(x+6)(x-6)} = 1 \] **Шаг 3:** Запишем в виде: \[ \frac{2x(x-6) - 144}{(x+6)(x-6)} = 1 \] **Шаг 4:** Раскроем скобки в числителе: \[ 2x^2 - 12x - 144 \] **Шаг 5:** Перенесем всё в уравнение: \[ 2x^2 - 12x - 144 = (x+6)(x-6) \] Но у нас есть уже дробь, приравненная к 1. Тогда: \[ 2x^2 - 12x - 144 = (x+6)(x-6) \times 1 = (x+6)(x-6) \] Аналогично, чтобы избавиться от деления, умножим обе части уравнения на \((x+6)(x-6)\): \[ 2x^2 - 12x - 144 = (x+6)(x-6) \] Теперь решим это уравнение: \[ 2x^2 - 12x - 144 = x^2 - 36 \] Перенесем все в левую сторону: \[ 2x^2 - 12x - 144 - x^2 + 36 = 0 \] Объединим подобные: \[ x^2 - 12x - 108 = 0 \] **Шаг 6:** Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 12x - 108 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \times 1 \times (-108) = 144 + 432 = 576 \] Корни: \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{12 \pm 24}{2} \] Получаем два решения: \[ x = \frac{12 + 24}{2} = 18 \] \[ x = \frac{12 - 24}{2} = -6 \] **Шаг 7:** Проверка условий: знаменатели при \(x = -6\) равны нулю — недопустимо. Поэтому **исключаем** этот корень. Ответ: **\(x = 18\)**. --- #### в) Решить уравнение: \[ \frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y} \] Выражение \( y^2 - 2y = y(y-2) \). Заметим, что: \[ \frac{3y+4}{y(y-2)} \] **Шаг 1:** Представим уравнение: \[ \frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \] **Шаг 2:** Общий знаменатель – \( y(y-2) \). Перепишем каждую часть: \[ \frac{(3y-2)(y-2)}{y(y-2)} - \frac{y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \] **Шаг 3:** Запишем уравнение: \[ \frac{(3y-2)(y-2) - y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \] **Шаг 4:** Теперь равенство двух дробей означает, что числители равны: \[ (3y-2)(y-2) - y = 3y+4 \] **Шаг 5:** Раскроем скобки: \[ (3y)(y-2) - 2(y-2) - y = 3y + 4 \] \[ 3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y + 4 \] Объединим подобные: \[ 3y^2 - 6y - 2y - y + 4 = 3y + 4 \] \[ 3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4 \] **Шаг 6:** Перенесем все в левую сторону: \[ 3y^2 - 9y + 4 - 3y - 4 = 0 \] Это: \[ 3y^2 - 12y = 0 \] **Шаг 7:** Разделим на 3: \[ y^2 - 4y = 0 \] **Шаг 8:** Вынесем общий множитель: \[ y(y - 4) = 0 \] **Шаг 9:** Получаем решения: \[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = 4 \] **Шаг 10:** Проверка условий: в знаменателях не должно быть нуля. - Для \( y=0 \), знаменатель \( y \) равен 0 — недопустимо. - Для \( y=4 \), знаменатели \( y \) и \( y-2 \) равны 4 и 2 — не равны нулю. **Ответ:** **\( y=4 \)**. --- ###