Реши с дискриминантом
Решим задачу с использованием дискриминанта.
1. Задачи по алгебре с рациональными выражениями
а) Решить уравнение:
\[ \frac{x+2}{x+3} - \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 1: Найти общий знаменатель – это произведение \((x+3)(x-1)\).
Шаг 2: Привести левую часть к общему знаменателю:
\[ \frac{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)} - \frac{(x+1)(x+3)}{(x-1)(x+3)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 3: Сложить числители:
\[ \frac{(x+2)(x-1) - (x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 4: Раскрыть скобки:
\[ \frac{(x^2 - x + 2x - 2) - (x^2 + 3x + x + 3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Это:
\[ \frac{x^2 + x - 2 - (x^2 + 4x + 3)}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 5: Упростить числитель:
\[ \frac{x^2 + x - 2 - x^2 - 4x - 3}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Это:
\[ \frac{-3x - 5}{(x+3)(x-1)} = \frac{4}{(x+3)(x-1)} \]
Шаг 6: Так как знаменатели равны и не равны нулю, можем сравнить числители:
\[ -3x - 5 = 4 \]
Шаг 7: Решить уравнение:
\[ -3x = 9 \quad \Rightarrow \quad x = -3 \]
Шаг 8: Проверка условий: изначально в знаменателях не должно быть нулей:
- \(x \neq -3\) и \(x \neq 1\)
Так как полученное решение \(x = -3\) делает знаменатель \(x + 3 = 0\), это недопустимо. Поэтому нет решения.
б) Решить уравнение:
\[ \frac{2x}{x+6} - \frac{144}{x^2 - 36} = 1 \]
Шаг 1: Заметим, что \(x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)\).
Шаг 2: Замены не требуется; перейдём к приведению к общему знаменателю — это \( (x+6)(x-6) \):
\[ \frac{2x(x-6)}{(x+6)(x-6)} - \frac{144}{(x+6)(x-6)} = 1 \]
Шаг 3: Запишем в виде:
\[ \frac{2x(x-6) - 144}{(x+6)(x-6)} = 1 \]
Шаг 4: Раскроем скобки в числителе:
\[ 2x^2 - 12x - 144 \]
Шаг 5: Перенесем всё в уравнение:
\[ 2x^2 - 12x - 144 = (x+6)(x-6) \]
Но у нас есть уже дробь, приравненная к 1. Тогда:
\[ 2x^2 - 12x - 144 = (x+6)(x-6) \times 1 = (x+6)(x-6) \]
Аналогично, чтобы избавиться от деления, умножим обе части уравнения на \((x+6)(x-6)\):
\[ 2x^2 - 12x - 144 = (x+6)(x-6) \]
Теперь решим это уравнение:
\[ 2x^2 - 12x - 144 = x^2 - 36 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 2x^2 - 12x - 144 - x^2 + 36 = 0 \]
Объединим подобные:
\[ x^2 - 12x - 108 = 0 \]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение:
\[ x^2 - 12x - 108 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = (-12)^2 - 4 \times 1 \times (-108) = 144 + 432 = 576 \]
Корни:
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{12 \pm 24}{2} \]
Получаем два решения:
\[ x = \frac{12 + 24}{2} = 18 \] \[ x = \frac{12 - 24}{2} = -6 \]
Шаг 7: Проверка условий: знаменатели при \(x = -6\) равны нулю — недопустимо. Поэтому исключаем этот корень.
Ответ: \(x = 18\).
в) Решить уравнение:
\[ \frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2 - 2y} \]
Выражение \( y^2 - 2y = y(y-2) \). Заметим, что:
\[ \frac{3y+4}{y(y-2)} \]
Шаг 1: Представим уравнение:
\[ \frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \]
Шаг 2: Общий знаменатель – \( y(y-2) \).
Перепишем каждую часть:
\[ \frac{(3y-2)(y-2)}{y(y-2)} - \frac{y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \]
Шаг 3: Запишем уравнение:
\[ \frac{(3y-2)(y-2) - y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)} \]
Шаг 4: Теперь равенство двух дробей означает, что числители равны:
\[ (3y-2)(y-2) - y = 3y+4 \]
Шаг 5: Раскроем скобки:
\[ (3y)(y-2) - 2(y-2) - y = 3y + 4 \] \[ 3y^2 - 6y - 2y + 4 - y = 3y + 4 \]
Объединим подобные:
\[ 3y^2 - 6y - 2y - y + 4 = 3y + 4 \] \[ 3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4 \]
Шаг 6: Перенесем все в левую сторону:
\[ 3y^2 - 9y + 4 - 3y - 4 = 0 \]
Это:
\[ 3y^2 - 12y = 0 \]
Шаг 7: Разделим на 3:
\[ y^2 - 4y = 0 \]
Шаг 8: Вынесем общий множитель:
\[ y(y - 4) = 0 \]
Шаг 9: Получаем решения:
\[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = 4 \]
Шаг 10: Проверка условий: в знаменателях не должно быть нуля.
- Для \( y=0 \), знаменатель \( y \) равен 0 — недопустимо.
- Для \( y=4 \), знаменатели \( y \) и \( y-2 \) равны 4 и 2 — не равны нулю.
Ответ: \( y=4 \).
