Давайте решим комплексное уравнение:
[
(3 + 2i)x + (1 + 3i)y = 4 - 9i
]
где (x) и (y) — искомые вещественные числа.
Шаг 1: Разделение на реальные и мнимые части
Пусть (x) и (y) — вещественные числа.
Запишем уравнение в виде:
[
(3 + 2i)x + (1 + 3i)y = 4 - 9i
]
Раскроем скобки:
[
3x + 2ix + y + 3iy = 4 - 9i
]
Объединим реальные и мнимые части:
- Реальные части: (3x + y)
- Мнимые части: (2x + 3y)
Итак, уравнение можно представить в виде системы:
[
\boxed{
\begin{cases}
\text{Реальная часть}:\quad 3x + y = 4 \
\text{Мнимая часть}:\quad 2x + 3y = -9
\end{cases}
}
]
Шаг 2: Решение системы линейных уравнений
Запишем систему:
[
\begin{cases}
3x + y = 4 \quad (1) \
2x + 3y = -9 \quad (2)
\end{cases}
]
Решим её методом подстановки или исключения.
Шаг 3: Умножим уравнение (1) на 3 для удобства:
[
(1) \times 3:\quad 9x + 3y = 12
]
Обозначим это уравнение как (3).
Теперь у нас есть:
[
\begin{cases}
9x + 3y = 12 \quad (3) \
2x + 3y = -9 \quad (2)
\end{cases}
]
Вычтем уравнение (2) из уравнения (3):
[
(9x + 3y) - (2x + 3y) = 12 - (-9)
]
[
(9x - 2x) + (3y - 3y) = 21
]
[
7x = 21
]
Следовательно,
[
x = \frac{21}{7} = 3
]
Шаг 4: Найдём (y)
Подставим (x=3) в уравнение (1):
[
3 \times 3 + y = 4
]
[
9 + y = 4
]
[
y = 4 - 9 = -5
]
Ответ:
[
\boxed{
x = 3,\quad y = -5
}
]
Это вещественные числа, удовлетворяющие исходному комплексному уравнению.
Если нужно, я могу помочь с объяснениями по шагам или пояснить более подробно любой этап.
