Моторная лодка прошла по течению реки 280 км и вернулась обратно, затратив на весь путь 42 часа. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 5 км/ч.

Давайте подробно решим задачу, чтобы понять её суть. ### Дано: - Общее расстояние по течению и обратно: 280 км туда и 280 км обратно, итого 560 км. - Общее время поездки: 42 часа. - Скорость течения реки, \( v_{\text{теч}} = 5 \) км/ч. - Требуется найти собственную скорость лодки,tedy её скорость относительно воды, обозначим через \( v \). --- ### Шаг 1: Обозначения - \( v \) — собственная скорость лодки в спокойной воде (км/ч). - \( v_{\text{теч}} = 5 \) км/ч — скорость течения. ### Шаг 2: Скорость лодки по течению и против течения - По течению: скорость лодки относительно земли = \( v + v_{\text{теч}} = v + 5 \) км/ч. - Против течения: скорость лодки относительно земли = \( v - 5 \) км/ч. ### Шаг 3: Время движения - Время по течению: \( t_1 = \frac{280}{v + 5} \). - Время против течения: \( t_2 = \frac{280}{v - 5} \). Общее время: \( t_1 + t_2 = 42 \) часов. ### Шаг 4: Записываем уравнение \[ \frac{280}{v + 5} + \frac{280}{v - 5} = 42 \] ### Шаг 5: Решим уравнение Упростим: \[ 280 \left( \frac{1}{v + 5} + \frac{1}{v - 5} \right) = 42 \] Разделим обе части на 280: \[ \frac{1}{v + 5} + \frac{1}{v - 5} = \frac{42}{280} = \frac{3}{20} \] Теперь сложим левую часть: \[ \frac{(v - 5) + (v + 5)}{(v + 5)(v - 5)} = \frac{3}{20} \] Ч numerator: \[ (v - 5) + (v + 5) = 2v \] Ч denominator: \[ (v + 5)(v - 5) = v^2 - 25 \] Получаем: \[ \frac{2v}{v^2 - 25} = \frac{3}{20} \] ### Шаг 6: Решим относительно \( v \) Перемножим крест-накрест: \[ 20 \times 2v = 3 \times (v^2 - 25) \] Раскроем скобки: \[ 40v = 3v^2 - 75 \] Приведем к стандартному виду: \[ 3v^2 - 40v - 75 = 0 \] Разделим всю дробь на 3 для удобства: \[ v^2 - \frac{40}{3} v - 25 = 0 \] Лучше оставить в виде квадратичного уравнения: \[ 3v^2 - 40v - 75 = 0 \] Используем формулу квадратичного уравнения: \[ v = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \times 3 \times (-75)}}{2 \times 3} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 1600 - 4 \times 3 \times (-75) = 1600 + 900 = 2500 \] Квадратный корень: \[ \sqrt{2500} = 50 \] Подставляем далее: \[ v = \frac{40 \pm 50}{6} \] Получаем два возможных решения: 1. \(\displaystyle v = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15\) 2. \(\displaystyle v = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\) Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем только положительное значение. --- ### **Ответ:** **Собственная скорость лодки — 15 км/ч.** --- Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение каких-то шагов подробнее — пишите!