Моторная лодка прошла по течению реки 280 км и вернулась обратно, затратив на весь путь 42 часа. Найти собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 5…

Давайте подробно решим задачу, чтобы понять её суть.

Дано:

• Общее расстояние по течению и обратно: 280 км туда и 280 км обратно, итого 560 км.
• Общее время поездки: 42 часа.
• Скорость течения реки, \( v_{\text{теч}} = 5 \) км/ч.
• Требуется найти собственную скорость лодки,tedy её скорость относительно воды, обозначим через \( v \).

---

Шаг 1: Обозначения

• \( v \) — собственная скорость лодки в спокойной воде (км/ч).
• \( v_{\text{теч}} = 5 \) км/ч — скорость течения.

Шаг 2: Скорость лодки по течению и против течения

• По течению: скорость лодки относительно земли = \( v + v_{\text{теч}} = v + 5 \) км/ч.
• Против течения: скорость лодки относительно земли = \( v - 5 \) км/ч.

Шаг 3: Время движения

• Время по течению: \( t_1 = \frac{280}{v + 5} \).
• Время против течения: \( t_2 = \frac{280}{v - 5} \).

Общее время: \( t_1 + t_2 = 42 \) часов.

Шаг 4: Записываем уравнение

\[ \frac{280}{v + 5} + \frac{280}{v - 5} = 42 \]

Шаг 5: Решим уравнение

Упростим:

\[ 280 \left( \frac{1}{v + 5} + \frac{1}{v - 5} \right) = 42 \]

Разделим обе части на 280:

\[ \frac{1}{v + 5} + \frac{1}{v - 5} = \frac{42}{280} = \frac{3}{20} \]

Теперь сложим левую часть:

\[ \frac{(v - 5) + (v + 5)}{(v + 5)(v - 5)} = \frac{3}{20} \]

Ч numerator:

\[ (v - 5) + (v + 5) = 2v \]

Ч denominator:

\[ (v + 5)(v - 5) = v^2 - 25 \]

Получаем:

\[ \frac{2v}{v^2 - 25} = \frac{3}{20} \]

Шаг 6: Решим относительно \( v \)

Перемножим крест-накрест:

\[ 20 \times 2v = 3 \times (v^2 - 25) \]

Раскроем скобки:

\[ 40v = 3v^2 - 75 \]

Приведем к стандартному виду:

\[ 3v^2 - 40v - 75 = 0 \]

Разделим всю дробь на 3 для удобства:

\[ v^2 - \frac{40}{3} v - 25 = 0 \]

Лучше оставить в виде квадратичного уравнения:

\[ 3v^2 - 40v - 75 = 0 \]

Используем формулу квадратичного уравнения:

\[ v = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \times 3 \times (-75)}}{2 \times 3} \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 1600 - 4 \times 3 \times (-75) = 1600 + 900 = 2500 \]

Квадратный корень:

\[ \sqrt{2500} = 50 \]

Подставляем далее:

\[ v = \frac{40 \pm 50}{6} \]

Получаем два возможных решения:

1. \(\displaystyle v = \frac{40 + 50}{6} = \frac{90}{6} = 15\)

2. \(\displaystyle v = \frac{40 - 50}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем только положительное значение.

---

Ответ:

Собственная скорость лодки — 15 км/ч.

---

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение каких-то шагов подробнее — пишите!