(2+i)x+(1+2i)y=1-4i
Давайте разберемся с этим комплексным уравнением:
\[ (2+i)x + (1+2i)y = 1 - 4i \]
Задача — найти значения \( x \) и \( y \), представляющие собой комплексные числа. Обычно, комплексное число можно записать в виде:
\[ z = a + bi \]
где \( a \) — действительная часть, а \( b \) — мнимая часть.
Шаг 1: Представим неизвестные как комплексные числа
Пусть:
\[ x = x_1 + x_2 i \\ y = y_1 + y_2 i \]
где \( x_1, x_2, y_1, y_2 \) — действительные числа, которые нам нужно найти.
Шаг 2: Раскроем скобки произведения
Подставляем в исходное уравнение:
\[ (2+i)(x_1 + x_2 i) + (1 + 2i)(y_1 + y_2 i) = 1 - 4i \]
Рассчитаем каждое произведение отдельно:
\[ (2+i)(x_1 + x_2 i) = 2x_1 + 2x_2 i + i x_1 + i x_2 i \]
Заметим, что \( i^2 = -1 \), поэтому:
\[ i x_2 i = x_2 i^2 = -x_2 \]
Объединяем:
\[ 2x_1 - x_2 + (2x_2 + x_1) i \]
Аналогично для второго произведения:
\[ (1 + 2i)(y_1 + y_2 i) = y_1 + 2 y_2 i + 2i y_1 + 2 i y_2 i \]
Упростим:
\[ y_1 + 2 y_2 i + 2 y_1 i + 2 y_2 i^2 \]
Заметим, что:
\[ 2 y_2 i^2 = -2 y_2 \]
Исключим мультипликативные суммы:
\[ (y_1 - 2 y_2) + (2 y_1 + 2 y_2) i \]
Шаг 3: Запишем уравнение по действительным и мнимым частям
Объединяем оба выражения:
\[ \underbrace{[2x_1 - x_2]}_{\text{действительная часть 1}} + \underbrace{(2x_2 + x_1)i}_{\text{мнимая часть 1}} + \underbrace{(y_1 - 2 y_2)}_{\text{действительная часть 2}} + \underbrace{(2 y_1 + 2 y_2)i}_{\text{мнимая часть 2}} = 1 - 4i \]
Теперь группируем по действительным и мнимым частям:
- Действительные части:
\[ (2x_1 - x_2) + (y_1 - 2 y_2) = 1 \]
- Мнимые части:
\[ (2x_2 + x_1) + (2 y_1 + 2 y_2) = -4 \]
Шаг 4: Получаем систему уравнений
Итак, имеем систему:
\[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + y_1 - 2 y_2 = 1 \\ 2x_2 + x_1 + 2 y_1 + 2 y_2 = -4 \end{cases} \]
Шаг 5: Решение системы
Из первой уравнения выразим \( y_1 \):
\[ y_1 = 1 - 2x_1 + x_2 + 2 y_2 \]
Подставим во второе уравнение:
\[ 2x_2 + x_1 + 2 \left(1 - 2x_1 + x_2 + 2 y_2 \right) + 2 y_2 = -4 \]
Раскроем скобки:
\[ 2x_2 + x_1 + 2 - 4 x_1 + 2 x_2 + 4 y_2 + 2 y_2 = -4 \]
Объединим похожие члены:
\[ (2x_2 + 2 x_2) + (x_1 - 4 x_1) + 4 y_2 + 2 y_2 + 2 = -4 \] \[ 4x_2 - 3 x_1 + 6 y_2 + 2 = -4 \]
Перенесем число за скобки:
\[ 4x_2 - 3x_1 + 6 y_2 = -6 \]
Это уравнение можно переписать как:
\[ 4x_2 - 3x_1 + 6 y_2 = -6 \]
Шаг 6: Выразим одну переменную через другие
Выразим \( y_2 \):
\[ 6 y_2 = -6 - 4x_2 + 3 x_1 \] \[ y_2 = \frac{-6 - 4 x_2 + 3 x_1}{6} \]
Возьмем \( x_1, x_2 \) произвольно, например, выберем \( x_2 = 0 \) и \( x_1 = 0 \) для простоты:
\[ y_2 = \frac{-6 - 0 + 0}{6} = -1 \]
Тогда, из первого уравнения:
\[ y_1 = 1 - 2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot (-1) = 1 - 0 + 0 - 2 = -1 \]
Итог:
\[ x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad y_1 = -1, \quad y_2 = -1 \]
Отсюда получаем:
\[ x = x_1 + x_2 i = 0 + 0 i = 0 \] \[ y = y_1 + y_2 i = -1 - i \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = 0, \quad y = -1 - i } \]
Если имеются вопросы по решению или нужно рассмотреть другие вариации, сообщите!
