(2+i)x+(1+2i)y=1-4i

Давайте разберемся с этим комплексным уравнением: \[ (2+i)x + (1+2i)y = 1 - 4i \] Задача — найти значения \( x \) и \( y \), представляющие собой комплексные числа. Обычно, комплексное число можно записать в виде: \[ z = a + bi \] где \( a \) — действительная часть, а \( b \) — мнимая часть. --- ### Шаг 1: Представим неизвестные как комплексные числа Пусть: \[ x = x_1 + x_2 i \\ y = y_1 + y_2 i \] где \( x_1, x_2, y_1, y_2 \) — действительные числа, которые нам нужно найти. --- ### Шаг 2: Раскроем скобки произведения Подставляем в исходное уравнение: \[ (2+i)(x_1 + x_2 i) + (1 + 2i)(y_1 + y_2 i) = 1 - 4i \] Рассчитаем каждое произведение отдельно: \[ (2+i)(x_1 + x_2 i) = 2x_1 + 2x_2 i + i x_1 + i x_2 i \] Заметим, что \( i^2 = -1 \), поэтому: \[ i x_2 i = x_2 i^2 = -x_2 \] Объединяем: \[ 2x_1 - x_2 + (2x_2 + x_1) i \] Аналогично для второго произведения: \[ (1 + 2i)(y_1 + y_2 i) = y_1 + 2 y_2 i + 2i y_1 + 2 i y_2 i \] Упростим: \[ y_1 + 2 y_2 i + 2 y_1 i + 2 y_2 i^2 \] Заметим, что: \[ 2 y_2 i^2 = -2 y_2 \] Исключим мультипликативные суммы: \[ (y_1 - 2 y_2) + (2 y_1 + 2 y_2) i \] --- ### Шаг 3: Запишем уравнение по действительным и мнимым частям Объединяем оба выражения: \[ \underbrace{[2x_1 - x_2]}_{\text{действительная часть 1}} + \underbrace{(2x_2 + x_1)i}_{\text{мнимая часть 1}} + \underbrace{(y_1 - 2 y_2)}_{\text{действительная часть 2}} + \underbrace{(2 y_1 + 2 y_2)i}_{\text{мнимая часть 2}} = 1 - 4i \] Теперь группируем по действительным и мнимым частям: - **Действительные части:** \[ (2x_1 - x_2) + (y_1 - 2 y_2) = 1 \] - **Мнимые части:** \[ (2x_2 + x_1) + (2 y_1 + 2 y_2) = -4 \] --- ### Шаг 4: Получаем систему уравнений Итак, имеем систему: \[ \begin{cases} 2x_1 - x_2 + y_1 - 2 y_2 = 1 \\ 2x_2 + x_1 + 2 y_1 + 2 y_2 = -4 \end{cases} \] --- ### Шаг 5: Решение системы Из первой уравнения выразим \( y_1 \): \[ y_1 = 1 - 2x_1 + x_2 + 2 y_2 \] Подставим во второе уравнение: \[ 2x_2 + x_1 + 2 \left(1 - 2x_1 + x_2 + 2 y_2 \right) + 2 y_2 = -4 \] Раскроем скобки: \[ 2x_2 + x_1 + 2 - 4 x_1 + 2 x_2 + 4 y_2 + 2 y_2 = -4 \] Объединим похожие члены: \[ (2x_2 + 2 x_2) + (x_1 - 4 x_1) + 4 y_2 + 2 y_2 + 2 = -4 \] \[ 4x_2 - 3 x_1 + 6 y_2 + 2 = -4 \] Перенесем число за скобки: \[ 4x_2 - 3x_1 + 6 y_2 = -6 \] Это уравнение можно переписать как: \[ 4x_2 - 3x_1 + 6 y_2 = -6 \] --- ### Шаг 6: Выразим одну переменную через другие Выразим \( y_2 \): \[ 6 y_2 = -6 - 4x_2 + 3 x_1 \] \[ y_2 = \frac{-6 - 4 x_2 + 3 x_1}{6} \] Возьмем \( x_1, x_2 \) произвольно, например, выберем \( x_2 = 0 \) и \( x_1 = 0 \) для простоты: \[ y_2 = \frac{-6 - 0 + 0}{6} = -1 \] Тогда, из первого уравнения: \[ y_1 = 1 - 2 \cdot 0 + 0 + 2 \cdot (-1) = 1 - 0 + 0 - 2 = -1 \] --- ### **Итог:** \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad y_1 = -1, \quad y_2 = -1 \] Отсюда получаем: \[ x = x_1 + x_2 i = 0 + 0 i = 0 \] \[ y = y_1 + y_2 i = -1 - i \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = 0, \quad y = -1 - i } \] Если имеются вопросы по решению или нужно рассмотреть другие вариации, сообщите!