Постройте график функции y=∣2x∣(x+2)+2x и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Давайте разберемся по шагам с задачей. Нам нужно:
- Построить график функции \( y = |2x|(x+2) + 2x \).
- Определить для каких значений \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках.
Шаг 1. Анализ функции \( y = |2x|(x+2) + 2x \)
Разобьем по областям, поскольку в функции есть абсолютное значение.
- При \( 2x \geq 0 \) т.е. \( x \geq 0 \):
\[ |2x| = 2x \]
Функция становится:
\[ y = (2x)(x+2) + 2x = 2x(x+2) + 2x \]
Раскроем скобки:
\[ y = 2x^2 + 4x + 2x = 2x^2 + 6x \]
Для \( x \geq 0 \):
\[ \boxed{ y = 2x^2 + 6x } \]
- При \( 2x < 0 \), то есть \( x < 0 \):
\[ |2x| = -2x \]
Функция:
\[ y = (-2x)(x+2) + 2x \]
Раскроем скобки:
\[ y = -2x^2 - 4x + 2x = -2x^2 - 2x \]
Для \( x < 0 \):
\[ \boxed{ y = -2x^2 - 2x } \]
Итоговая функция:
\[ y = \begin{cases} -2x^2 - 2x, & x < 0 \\ 2x^2 + 6x, & x \geq 0 \end{cases} \]
Шаг 2. Построение графика
Для \( x < 0 \), это парабола с коэффициентом \(-2\) (открыта вниз), вершина — точка экстремума.
Для \( x \geq 0 \), это парабола с коэффициентом \(+2\) (открыта вверх).
Шаг 3. Определение точек соединения (старт и встреча графиков)
При \( x=0 \):
- Левая часть: \( y = -2(0)^2 - 2(0) = 0 \).
- Правая часть: \( y = 2(0)^2 + 6(0) = 0 \).
График непрерывен, точка \( (0,0) \).
Шаг 4. Анализ прямой \( y = m \)
Нам нужно найти значения \( m \), для которых:
\[ \text{прямая } y = m \text{ пересекает график в ровно 2 точках} \]
Поскольку график — это две части, каждый для своего диапазона, решим уравнения:
- Для \( x<0 \):
\[ -2x^2 - 2x = m \] или
\[ -2x^2 - 2x - m = 0 \]
- Для \( x \geq 0 \):
\[ 2x^2 + 6x = m \]
или
\[ 2x^2 + 6x - m = 0 \]
Шаг 5. Анализ решений уравнений (число корней)
Для каждого уравнения определить количество решений (точек пересечения), в зависимости от \( m \).
5.1. Уравнение для \( x < 0 \):
\[ -2x^2 - 2x - m = 0 \]
или делим на \(-2\):
\[ x^2 + x + \frac{m}{2} = 0 \]
Дискриминант:
\[ D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{m}{2} = 1 - 2m \]
Количество решений зависит от \( D_1 \):
- \( D_1 > 0 \): 2 решения (пересечения с графиком слева).
- \( D_1 = 0 \): 1 решение (касание, но нам нужны именно 2 точки, то есть чтобы пересечь в две точки, \( D_1 > 0 \)).
- \( D_1 < 0 \): 0 решений.
Итак,
\[ D_1 = 1 - 2m > 0 \implies m < \frac{1}{2} \]
5.2. Уравнение для \( x \geq 0 \):
\[ 2x^2 + 6x - m = 0 \]
Дискриминант:
\[ D_2 = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 36 + 8m \]
Количество решений:
\( D_2 > 0 \Rightarrow 36 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{36}{8} = -4.5 \)
\( D_2 = 0 \Rightarrow m = -4.5 \)
\( D_2 < 0 \Rightarrow m < -4.5 \)
Шаг 6. Интерпретация условий для ровно двух пересечений
Для того чтобы прямая \( y=m \) пересекала график в ровно двух точках, необходимо:
- Одно пересечение с левой частью (x<0),
- одно пересечение с правой частью (x ≥ 0),
- и при этом никаких дополнительных пересечений.
Приведем к условиям:
Левая часть: \( D_1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2} \), чтобы было два решения.
Правая часть: \( D_2 > 0 \Rightarrow m > -4.5 \), чтобы было два решения.
Но нужно избежать ситуаций, при которых у каждой части появляется по 2 решения (итого 4 пересечения). Поэтому:
Если \( m \) не достигает \( D_1 = 0 \) или \( D_2 = 0 \), тогда пересечения являются двумя (по одному с каждой стороны).
Но поскольку точки пересечения на границах — в точке \( x=0 \), которая дает уже одно и то же решение для обеих частей при \( m=0 \), важно учесть это.
Итоги:
Для \( m \in (-4.5, \frac{1}{2}) \):
- \( D_2 > 0 \Rightarrow 2 решения \) (с правой стороны),
- \( D_1 > 0 \Rightarrow 2 решения \) (с левой стороны).
Но чтобы было ровно 2 точки пересечения, нужно, чтобы у одной из частей было только одно решение — то есть дискриминант равен нулю — при этом у другой части — два.
Итоговые значения \( m \):
Когда \( D_1 = 0 \), тогда левая часть имеет одно решение: \( m = \frac{1}{2} \).
Когда \( D_2 = 0 \), тогда правая часть имеет одно решение: \( m = -4.5 \).
Чтобы оставить ровно 2 точки пересечения:
- Плюс к тому, что при \( m=0 \) есть точка в \( (0,0) \), которая — при \( m=0 \) — перекрывается с границей.
Заключение:
Ответ:
Для \( m \in (-4.5, \frac{1}{2}) \): линия \( y=m \) пересекает график в 4 точках.
Чтобы было ровно 2 точки, нужно выбрать значения \( m \), при которых одна из частей даёт ровно одно решение (граничные случаи): \( m = 0.5 \) или \( m = -4.5 \).
Однако, при \( m = 0.5 \), на границе у обеих частей есть решение, и это даёт ровно две точки — одна из них в точке \( (0,0) \) (общая точка).
Аналогично при \( m = -4.5 \).
Итоговые значения \( m \), при которых прямой \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком:
\[ \boxed{ \text{Ответ: } m = -4.5 \quad \text{или} \quad m = 0.5 } \]
Если нужно, я могу помочь с графиками или более подробным объяснением.
