Постройте график функции y=∣2x∣(x+2)+2x и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Давайте разберемся по шагам с задачей. Нам нужно: 1. Построить график функции \( y = |2x|(x+2) + 2x \). 2. Определить для каких значений \( m \) прямая \( y = m \) пересекает график ровно в двух точках. --- ## Шаг 1. Анализ функции \( y = |2x|(x+2) + 2x \) ### Разобьем по областям, поскольку в функции есть абсолютное значение. - При \( 2x \geq 0 \) т.е. \( x \geq 0 \): \[ |2x| = 2x \] Функция становится: \[ y = (2x)(x+2) + 2x = 2x(x+2) + 2x \] Раскроем скобки: \[ y = 2x^2 + 4x + 2x = 2x^2 + 6x \] **Для \( x \geq 0 \):** \[ \boxed{ y = 2x^2 + 6x } \] --- - При \( 2x < 0 \), то есть \( x < 0 \): \[ |2x| = -2x \] Функция: \[ y = (-2x)(x+2) + 2x \] Раскроем скобки: \[ y = -2x^2 - 4x + 2x = -2x^2 - 2x \] **Для \( x < 0 \):** \[ \boxed{ y = -2x^2 - 2x } \] --- ### Итоговая функция: \[ y = \begin{cases} -2x^2 - 2x, & x < 0 \\ 2x^2 + 6x, & x \geq 0 \end{cases} \] --- ## Шаг 2. Построение графика - Для \( x < 0 \), это парабола с коэффициентом \(-2\) (открыта вниз), вершина — точка экстремума. - Для \( x \geq 0 \), это парабола с коэффициентом \(+2\) (открыта вверх). --- ## Шаг 3. Определение точек соединения (старт и встреча графиков) При \( x=0 \): - Левая часть: \( y = -2(0)^2 - 2(0) = 0 \). - Правая часть: \( y = 2(0)^2 + 6(0) = 0 \). График непрерывен, точка \( (0,0) \). --- ## Шаг 4. Анализ прямой \( y = m \) Нам нужно найти значения \( m \), для которых: \[ \text{прямая } y = m \text{ пересекает график в ровно 2 точках} \] Поскольку график — это две части, каждый для своего диапазона, решим уравнения: - Для \( x<0 \): \[ -2x^2 - 2x = m \] или \[ -2x^2 - 2x - m = 0 \] - Для \( x \geq 0 \): \[ 2x^2 + 6x = m \] или \[ 2x^2 + 6x - m = 0 \] --- ## Шаг 5. Анализ решений уравнений (число корней) Для каждого уравнения определить количество решений (точек пересечения), в зависимости от \( m \). ### 5.1. Уравнение для \( x < 0 \): \[ -2x^2 - 2x - m = 0 \] или делим на \(-2\): \[ x^2 + x + \frac{m}{2} = 0 \] Дискриминант: \[ D_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{m}{2} = 1 - 2m \] Количество решений зависит от \( D_1 \): - \( D_1 > 0 \): 2 решения (пересечения с графиком слева). - \( D_1 = 0 \): 1 решение (касание, но нам нужны именно 2 точки, то есть чтобы пересечь в две точки, \( D_1 > 0 \)). - \( D_1 < 0 \): 0 решений. Итак, \[ D_1 = 1 - 2m > 0 \implies m < \frac{1}{2} \] ### 5.2. Уравнение для \( x \geq 0 \): \[ 2x^2 + 6x - m = 0 \] Дискриминант: \[ D_2 = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m) = 36 + 8m \] Количество решений: - \( D_2 > 0 \Rightarrow 36 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{36}{8} = -4.5 \) - \( D_2 = 0 \Rightarrow m = -4.5 \) - \( D_2 < 0 \Rightarrow m < -4.5 \) --- ## Шаг 6. Интерпретация условий для ровно двух пересечений - Для того чтобы прямая \( y=m \) пересекала график в **ровно двух точках**, необходимо: - **Одно пересечение с левой частью (x<0)**, - **одно пересечение с правой частью (x ≥ 0)**, - и при этом **никаких дополнительных пересечений**. Приведем к условиям: - Левая часть: \( D_1 > 0 \Rightarrow m < \frac{1}{2} \), чтобы было два решения. - Правая часть: \( D_2 > 0 \Rightarrow m > -4.5 \), чтобы было два решения. Но нужно избежать ситуаций, при которых у каждой части появляется по 2 решения (итого 4 пересечения). Поэтому: - Если \( m \) не достигает \( D_1 = 0 \) или \( D_2 = 0 \), тогда пересечения являются двумя (по одному с каждой стороны). - Но поскольку точки пересечения на границах — в точке \( x=0 \), которая дает уже одно и то же решение для обеих частей при \( m=0 \), важно учесть это. --- ## Итоги: - Для \( m \in (-4.5, \frac{1}{2}) \): - \( D_2 > 0 \Rightarrow 2 решения \) (с правой стороны), - \( D_1 > 0 \Rightarrow 2 решения \) (с левой стороны). Но чтобы было **ровно 2 точки пересечения**, нужно, чтобы у *одной* из частей было только одно решение — то есть дискриминант равен нулю — при этом у другой части — два. ### **Итоговые значения \( m \):** - Когда \( D_1 = 0 \), тогда левая часть имеет **одно решение**: \( m = \frac{1}{2} \). - Когда \( D_2 = 0 \), тогда правая часть имеет **одно решение**: \( m = -4.5 \). Чтобы оставить ровно 2 точки пересечения: - Плюс к тому, что при \( m=0 \) есть точка в \( (0,0) \), которая — при \( m=0 \) — перекрывается с границей. --- ## **Заключение:** ### **Ответ:** - **Для \( m \in (-4.5, \frac{1}{2}) \)**: линия \( y=m \) пересекает график в 4 точках. - **Чтобы было ровно 2 точки**, нужно выбрать значения \( m \), при которых одна из частей даёт **ровно одно решение** (граничные случаи): **\( m = 0.5 \)** или **\( m = -4.5 \)**. - Однако, при \( m = 0.5 \), на границе у обеих частей есть решение, и это даёт ровно две точки — одна из них в точке \( (0,0) \) (общая точка). - Аналогично при \( m = -4.5 \). > **Итоговые значения \( m \), при которых прямой \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком:** \[ \boxed{ \text{Ответ: } m = -4.5 \quad \text{или} \quad m = 0.5 } \] --- Если нужно, я могу помочь с графиками или более подробным объяснением.