2. Найти координаты точки О принадлежащей прямой а является осью симметрии, если известны симметричные точки М(-1/2, 2/3,0) и М1(-2,6,-4/5) 1. Найти координаты точки А1 если…

Давайте разберём обе задачи по порядку с подробными объяснениями.

Задача 1

Дано: точки \( M \left( -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0 \right) \) и \( M_1 \left( -2, 6, -\frac{4}{5} \right) \).
Нужно найти координаты точки \( O \), которая принадлежит прямой \( a \), являющейся осью симметрии для этих точек.

Что значит «прямая \( a \) — ось симметрии», для точки \( M \) и \( M_1 \)?

Если \( a \) — ось симметрии, то точка \( O \), которая лежит на этой оси, будет — средина отрезка \( MM_1 \), если точки симметричны относительно этой оси. То есть, точка \( O \) — середина сегмента \( MM_1 \), потому что:

\[ O = \text{центр отрезка } MM_1 \]

Шаги решения:

1. Найти координаты середины отрезка \( MM_1 \) по формуле:

\[ x_O = \frac{x_M + x_{M_1}}{2} \] \[ y_O = \frac{y_M + y_{M_1}}{2} \] \[ z_O = \frac{z_M + z_{M_1}}{2} \]

2. Подставляем значения:

\[ x_O = \frac{-\frac{1}{2} + (-2)}{2} = \frac{-\frac{1}{2} - 2}{2} = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{4}{2}}{2} = \frac{- \frac{5}{2}}{2} = - \frac{5}{4} \]

\[ y_O = \frac{\frac{2}{3} + 6}{2} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{18}{3}}{2} = \frac{\frac{20}{3}}{2} = \frac{20}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{3} \]

\[ z_O = \frac{0 + \left( - \frac{4}{5} \right)}{2} = \frac{ - \frac{4}{5} }{2} = - \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = - \frac{2}{5} \]

Ответ задачи 1:

\[ \boxed{ O \left( -\frac{5}{4}, \frac{10}{3}, -\frac{2}{5} \right) } \]

Задача 2

Дано: точки \( A (-1, 3, -5) \), \( O (2, -1, -3) \).
Требуется найти координаты точки \( A_1 \), если \( A_1 \) — симметрична \( A \) относительно точки \( O \).

Что значит «симметрична относительно точки \( O \)»?

Если \( A_1 \) — симметрична \( A \) относительно \( O \), то:

\[ O \text{ — середина отрезка } AA_1 \]

Значит, координаты \( A_1 \) можно найти по формуле:

\[ x_{A_1} = 2x_O - x_A \] \[ y_{A_1} = 2y_O - y_A \] \[ z_{A_1} = 2z_O - z_A \]

Шаги решения:

1. Подставляем значения:

\[ x_{A_1} = 2 \times 2 - (-1) = 4 + 1 = 5 \] \[ y_{A_1} = 2 \times (-1) - 3 = -2 - 3 = -5 \] \[ z_{A_1} = 2 \times (-3) - (-5) = -6 + 5 = -1 \]

Ответ задачи 2:

\[ \boxed{ A_1 (5, -5, -1) } \]

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с новой задачей, обращайтесь!