Давайте разберём обе задачи по порядку с подробными объяснениями.
Задача 1
Дано: точки ( M \left( -\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0 \right) ) и ( M_1 \left( -2, 6, -\frac{4}{5} \right) ).
Нужно найти координаты точки ( O ), которая принадлежит прямой ( a ), являющейся осью симметрии для этих точек.
Что значит «прямая ( a ) — ось симметрии», для точки ( M ) и ( M_1 )?
Если ( a ) — ось симметрии, то точка ( O ), которая лежит на этой оси, будет — средина отрезка ( MM_1 ), если точки симметричны относительно этой оси. То есть, точка ( O ) — середина сегмента ( MM_1 ), потому что:
[
O = \text{центр отрезка } MM_1
]
Шаги решения:
- Найти координаты середины отрезка ( MM_1 ) по формуле:
[
x_O = \frac{x_M + x_{M_1}}{2}
]
[
y_O = \frac{y_M + y_{M_1}}{2}
]
[
z_O = \frac{z_M + z_{M_1}}{2}
]
- Подставляем значения:
[
x_O = \frac{-\frac{1}{2} + (-2)}{2} = \frac{-\frac{1}{2} - 2}{2} = \frac{-\frac{1}{2} - \frac{4}{2}}{2} = \frac{- \frac{5}{2}}{2} = - \frac{5}{4}
]
[
y_O = \frac{\frac{2}{3} + 6}{2} = \frac{\frac{2}{3} + \frac{18}{3}}{2} = \frac{\frac{20}{3}}{2} = \frac{20}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{3}
]
[
z_O = \frac{0 + \left( - \frac{4}{5} \right)}{2} = \frac{ - \frac{4}{5} }{2} = - \frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = - \frac{2}{5}
]
Ответ задачи 1:
[
\boxed{
O \left( -\frac{5}{4}, \frac{10}{3}, -\frac{2}{5} \right)
}
]
Задача 2
Дано: точки ( A (-1, 3, -5) ), ( O (2, -1, -3) ).
Требуется найти координаты точки ( A_1 ), если ( A_1 ) — симметрична ( A ) относительно точки ( O ).
Что значит «симметрична относительно точки ( O )»?
Если ( A_1 ) — симметрична ( A ) относительно ( O ), то:
[
O \text{ — середина отрезка } AA_1
]
Значит, координаты ( A_1 ) можно найти по формуле:
[
x_{A_1} = 2x_O - x_A
]
[
y_{A_1} = 2y_O - y_A
]
[
z_{A_1} = 2z_O - z_A
]
Шаги решения:
- Подставляем значения:
[
x_{A_1} = 2 \times 2 - (-1) = 4 + 1 = 5
]
[
y_{A_1} = 2 \times (-1) - 3 = -2 - 3 = -5
]
[
z_{A_1} = 2 \times (-3) - (-5) = -6 + 5 = -1
]
Ответ задачи 2:
[
\boxed{
A_1 (5, -5, -1)
}
]
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с новой задачей, обращайтесь!
