Два мотоциклиста участвуют в гонке на движение по круговой трассе, длина которой равна 10 км, где им предстоит проехать 15 кругов. Второй мотоциклист обгонял первого на один круг…

Рассмотрим задачу подробно и пошагово, чтобы найти скорость первого мотоциклиста.

Дано:

• Длина круга \(L = 10\,\text{км}\)
• Общее число кругов: \(N=15\)
• Второй мотоциклист обогнал первого на один круг через 20 минут (т.е. когда оба проехали одинаковое число кругов + 1 круг у второго)
• Второй мотоциклист пришел к финишу на 10 минут раньше первого

Обозначим:

• \(v_1\) — скорость первого мотоциклиста (км/ч)
• \(v_2\) — скорость второго мотоциклиста (км/ч)
• \(t_1\) — время, за которое проехал первый мотоциклист
• \(t_2\) — время, за которое проехал второй мотоциклист

---

Шаг 1: Время прохождения всей дистанции для каждого

Общая длина маршрута: \[ S_{total} = 15 \times 10\,\text{км} = 150\,\text{км} \]

Тогда: \[ t_1 = \frac{150}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{150}{v_2} \]

Также известно, что:

\[ t_2 = t_1 - 10\,\text{минут} \]

Переведем 10 минут в часы: \[ 10\,\text{минут} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\,\text{часа} \]

Следовательно: \[ t_2 = t_1 - \frac{1}{6} \]

---

Шаг 2: Информация о обгоне на один круг

Обгон происходит на один круг, то есть через дистанцию 10 км.

Обгон происходил через 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа) после старта. За это время оба проехали:

• первый: \(v_1 \times \frac{1}{3}\)
• второй: \(v_2 \times \frac{1}{3}\)

Обгон — это момент, когда второй догоняет первого, то есть они оба оказались в одной точке, и второй перешагнул первого.

В условии говорится, что это случилось "на один круг", то есть второй догнал первого, который шел на расстоянии одного круга впереди.

Пусть момент обгона наступил после прохождения \(t_{догон}\) часов.

За \(t_{догон}\):

• первый прошел \(v_1 \times t_{догон}\)
• второй — \(v_2 \times t_{догон}\)

На момент обгона: \[ v_2 \times t_{догон} - v_1 \times t_{догон} = 10\,\text{км} \] или \[ (v_2 - v_1) \times t_{догон} = 10 \]

Известно, что: \[ t_{догон} = \frac{1}{3}\, \text{часа} \]

Следовательно: \[ (v_2 - v_1) \times \frac{1}{3} = 10 \] \[ v_2 - v_1 = 10 \times 3 = 30\,\text{км/ч} \]

---

Шаг 3: Связь времени прохождения и скоростей

Теперь у нас есть: \[ v_2 = v_1 + 30 \] и \[ t_2 = \frac{150}{v_2} = t_1 - \frac{1}{6} \]

Также: \[ t_1 = \frac{150}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{150}{v_2} = \frac{150}{v_1 + 30} \]

Подставим \( t_2 \) в уравнение: \[ \frac{150}{v_1 + 30} = \frac{150}{v_1} - \frac{1}{6} \]

---

Шаг 4: Решение уравнения

Переносим и приводим к общему виду:

\[ \frac{150}{v_1 + 30} = \frac{150}{v_1} - \frac{1}{6} \]

Обозначим: \[ A = v_1 \]

Тогда:

\[ \frac{150}{A + 30} = \frac{150}{A} - \frac{1}{6} \]

Объединим правую часть: \[ \frac{150}{A} - \frac{1}{6} = \frac{150 \times 6 - A}{6A} = \frac{900 - A}{6A} \]

Итак, уравнение:

\[ \frac{150}{A + 30} = \frac{900 - A}{6A} \]

Перемножим обе части на \(6A(A + 30)\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 6A(A + 30) \times \frac{150}{A + 30} = 6A(A + 30) \times \frac{900 - A}{6A} \]

Левая часть сократится:

\[ 150 \times 6A = 900A \]

А правая часть: \[ (A + 30)(900 - A) \]

Итак, получается:

\[ 900A = (A + 30)(900 - A) \]

Раскроем скобки справа:

\[ 900A = (A \times 900 - A^2 + 30 \times 900 - 30A) \] \[ 900A = 900A - A^2 + 27\,000 - 30A \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ 900A - 900A + A^2 - 27\,000 + 30A = 0 \]

Упростим:

\[ A^2 + 30A - 27\,000 = 0 \]

---

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение:

\[ A^2 + 30A - 27\,000 = 0 \]

Решаем через дискриминант:

\[ D = 30^2 - 4 \times 1 \times (-27\,000) = 900 + 108\,000 = 108\,900 \]

Находим корни:

\[ A = \frac{-30 \pm \sqrt{108\,900}}{2} \]

Рассчитаем \(\sqrt{108\,900}\):

\[ \sqrt{108\,900} \approx 330 \]

Тогда:

\[ A = \frac{-30 \pm 330}{2} \]

Два варианта:

1. \(\displaystyle A = \frac{-30 + 330}{2} = \frac{300}{2} = 150\)

2. \(\displaystyle A = \frac{-30 - 330}{2} = \frac{-360}{2} = -180\) (недопустимо, скорость не может быть отрицательной)

Следовательно, допустимое решение:

\[ v_1 = 150\,\text{км/ч} \]

---

Ответ:

Скорость первого мотоциклиста равна 150 км/ч.