Два мотоциклиста участвуют в гонке на движение по круговой трассе, длина которой равна 10 км, где им предстоит проехать 15 кругов. Второй мотоциклист обгонял первого на один круг через 20 минут после старта и пришел к финишу на 10 минут раньше первого. Чему равна скорость первого мотоциклиста?

Рассмотрим задачу подробно и пошагово, чтобы найти скорость первого мотоциклиста. ### Дано: - Длина круга \(L = 10\,\text{км}\) - Общее число кругов: \(N=15\) - Второй мотоциклист обогнал первого на один круг через 20 минут (т.е. когда оба проехали одинаковое число кругов + 1 круг у второго) - Второй мотоциклист пришел к финишу на 10 минут раньше первого Обозначим: - \(v_1\) — скорость первого мотоциклиста (км/ч) - \(v_2\) — скорость второго мотоциклиста (км/ч) - \(t_1\) — время, за которое проехал первый мотоциклист - \(t_2\) — время, за которое проехал второй мотоциклист --- ### Шаг 1: Время прохождения всей дистанции для каждого Общая длина маршрута: \[ S_{total} = 15 \times 10\,\text{км} = 150\,\text{км} \] Тогда: \[ t_1 = \frac{150}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{150}{v_2} \] Также известно, что: \[ t_2 = t_1 - 10\,\text{минут} \] Переведем 10 минут в часы: \[ 10\,\text{минут} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}\,\text{часа} \] Следовательно: \[ t_2 = t_1 - \frac{1}{6} \] --- ### Шаг 2: Информация о обгоне на один круг Обгон происходит на один круг, то есть через дистанцию 10 км. Обгон происходил через 20 минут (или \(\frac{1}{3}\) часа) после старта. За это время оба проехали: - первый: \(v_1 \times \frac{1}{3}\) - второй: \(v_2 \times \frac{1}{3}\) Обгон — это момент, когда второй догоняет первого, то есть они оба оказались в одной точке, и второй перешагнул первого. В условии говорится, что это случилось "на один круг", то есть второй догнал первого, который шел на расстоянии одного круга впереди. Пусть момент обгона наступил после прохождения \(t_{догон}\) часов. За \(t_{догон}\): - первый прошел \(v_1 \times t_{догон}\) - второй — \(v_2 \times t_{догон}\) На момент обгона: \[ v_2 \times t_{догон} - v_1 \times t_{догон} = 10\,\text{км} \] или \[ (v_2 - v_1) \times t_{догон} = 10 \] Известно, что: \[ t_{догон} = \frac{1}{3}\, \text{часа} \] Следовательно: \[ (v_2 - v_1) \times \frac{1}{3} = 10 \] \[ v_2 - v_1 = 10 \times 3 = 30\,\text{км/ч} \] --- ### Шаг 3: Связь времени прохождения и скоростей Теперь у нас есть: \[ v_2 = v_1 + 30 \] и \[ t_2 = \frac{150}{v_2} = t_1 - \frac{1}{6} \] Также: \[ t_1 = \frac{150}{v_1} \] \[ t_2 = \frac{150}{v_2} = \frac{150}{v_1 + 30} \] Подставим \( t_2 \) в уравнение: \[ \frac{150}{v_1 + 30} = \frac{150}{v_1} - \frac{1}{6} \] --- ### Шаг 4: Решение уравнения Переносим и приводим к общему виду: \[ \frac{150}{v_1 + 30} = \frac{150}{v_1} - \frac{1}{6} \] Обозначим: \[ A = v_1 \] Тогда: \[ \frac{150}{A + 30} = \frac{150}{A} - \frac{1}{6} \] Объединим правую часть: \[ \frac{150}{A} - \frac{1}{6} = \frac{150 \times 6 - A}{6A} = \frac{900 - A}{6A} \] Итак, уравнение: \[ \frac{150}{A + 30} = \frac{900 - A}{6A} \] Перемножим обе части на \(6A(A + 30)\), чтобы избавиться от дробей: \[ 6A(A + 30) \times \frac{150}{A + 30} = 6A(A + 30) \times \frac{900 - A}{6A} \] Левая часть сократится: \[ 150 \times 6A = 900A \] А правая часть: \[ (A + 30)(900 - A) \] Итак, получается: \[ 900A = (A + 30)(900 - A) \] Раскроем скобки справа: \[ 900A = (A \times 900 - A^2 + 30 \times 900 - 30A) \] \[ 900A = 900A - A^2 + 27\,000 - 30A \] Перенесем все в левую сторону: \[ 900A - 900A + A^2 - 27\,000 + 30A = 0 \] Упростим: \[ A^2 + 30A - 27\,000 = 0 \] --- ### Шаг 5: Решение квадратного уравнения Квадратное уравнение: \[ A^2 + 30A - 27\,000 = 0 \] Решаем через дискриминант: \[ D = 30^2 - 4 \times 1 \times (-27\,000) = 900 + 108\,000 = 108\,900 \] Находим корни: \[ A = \frac{-30 \pm \sqrt{108\,900}}{2} \] Рассчитаем \(\sqrt{108\,900}\): \[ \sqrt{108\,900} \approx 330 \] Тогда: \[ A = \frac{-30 \pm 330}{2} \] Два варианта: 1. \(\displaystyle A = \frac{-30 + 330}{2} = \frac{300}{2} = 150\) 2. \(\displaystyle A = \frac{-30 - 330}{2} = \frac{-360}{2} = -180\) (недопустимо, скорость не может быть отрицательной) Следовательно, допустимое решение: \[ v_1 = 150\,\text{км/ч} \] --- ### **Ответ:** **Скорость первого мотоциклиста равна 150 км/ч.**