реши задачу за 10-11 класс Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета AB. (<B = 90) Найти площадь полной поверхности и объем конуса, если стороны AB =…
Реши задачу за 10-11 класс Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета AB. (
Давайте пошагово решим задачу.
Дано:
- Треугольник ABC прямой, с углом в B = 90°
- Катеты: AB = 12 см, BC = 5 см
- Основание вращения — катет AB
- Требуется найти:
- Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} \)
- Объем конуса \( V \)
1. Построение и определение параметров
Шаг 1. Найдём гипотенузу AC — это гипотенуза прямоугольного треугольника ABC:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]
2. Определяем радиус конуса \( R \) и высоту \( H \)
Поскольку вращение происходит вокруг катета \( AB \), то радиус \( R \) конуса равен длине окружности основания, то есть радиусу основания:
\[ R = BC = 5 \text{ см} \]
Высота \( H \) конуса — это часть, перпендикулярная основанию, и равна катету \( AB \):
\[ H = AB = 12 \text{ см} \]
3. Находим образующую конуса \( L \) (образующий)
Образующая \( L \) — это расстояние от вершины до любой точки окружности основания по кратчайшему пути, вычисляемое по формуле:
\[ L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]
Образующая равна гипотенузе треугольника ABC, что логично.
4. Находим площадь боковой поверхности \( S_b \)
Используем формулу:
\[ S_b = \pi R L = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi \text{ см}^2 \]
Приблизительно:
\[ S_b \approx 65 \times 3,14 \approx 204,1 \text{ см}^2 \]
5. Находим площадь основания \( S_o \)
\[ S_o = \pi R^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \text{ см}^2 \]
Приблизительно:
\[ S_o \approx 25 \times 3,14 \approx 78,5 \text{ см}^2 \]
6. Находим площадь полной поверхности \( S_{полн} \)
\[ S_{полн} = S_b + S_o = 65\pi + 25\pi = 90\pi \text{ см}^2 \]
Приблизительно:
\[ S_{полн} \approx 90 \times 3,14 = 282,6 \text{ см}^2 \]
7. Находим объем \( V \)
Используем формулу:
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times 12 = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 12 \]
\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 300 = 100 \pi \text{ см}^3 \]
Приблизительно:
\[ V \approx 100 \times 3,14 = 314 \text{ см}^3 \]
Итоги:
- Площадь полной поверхности: \(\boxed{90 \pi \approx 282,6 \text{ см}^2}\)
- Объем: \(\boxed{100 \pi \approx 314 \text{ см}^3}\)
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!
