Реши задачу за 10-11 класс Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета AB. (

Давайте пошагово решим задачу. **Дано:** - Треугольник ABC прямой, с углом в B = 90° - Катеты: AB = 12 см, BC = 5 см - Основание вращения — катет AB - Требуется найти: 1. Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} \) 2. Объем конуса \( V \) --- ### 1. Построение и определение параметров **Шаг 1. Найдём гипотенузу AC** — это гипотенуза прямоугольного треугольника ABC: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \] --- ### 2. Определяем радиус конуса \( R \) и высоту \( H \) Поскольку вращение происходит вокруг катета \( AB \), то радиус \( R \) конуса равен длине окружности основания, то есть радиусу основания: \[ R = BC = 5 \text{ см} \] Высота \( H \) конуса — это часть, перпендикулярная основанию, и равна катету \( AB \): \[ H = AB = 12 \text{ см} \] --- ### 3. Находим образующую конуса \( L \) (образующий) Образующая \( L \) — это расстояние от вершины до любой точки окружности основания по кратчайшему пути, вычисляемое по формуле: \[ L = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \] Образующая равна гипотенузе треугольника ABC, что логично. --- ### 4. Находим площадь боковой поверхности \( S_b \) Используем формулу: \[ S_b = \pi R L = \pi \times 5 \times 13 = 65\pi \text{ см}^2 \] **Приблизительно:** \[ S_b \approx 65 \times 3,14 \approx 204,1 \text{ см}^2 \] --- ### 5. Находим площадь основания \( S_o \) \[ S_o = \pi R^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \text{ см}^2 \] **Приблизительно:** \[ S_o \approx 25 \times 3,14 \approx 78,5 \text{ см}^2 \] --- ### 6. Находим площадь полной поверхности \( S_{полн} \) \[ S_{полн} = S_b + S_o = 65\pi + 25\pi = 90\pi \text{ см}^2 \] **Приблизительно:** \[ S_{полн} \approx 90 \times 3,14 = 282,6 \text{ см}^2 \] --- ### 7. Находим объем \( V \) Используем формулу: \[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times 12 = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 12 \] \[ V = \frac{1}{3} \pi \times 300 = 100 \pi \text{ см}^3 \] **Приблизительно:** \[ V \approx 100 \times 3,14 = 314 \text{ см}^3 \] --- ## Итоги: - **Площадь полной поверхности:** \(\boxed{90 \pi \approx 282,6 \text{ см}^2}\) - **Объем:** \(\boxed{100 \pi \approx 314 \text{ см}^3}\) Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!