Рассмотрим задачу подробнее.
Дано:
- 5 работниц, каждая окрашивает игрушки.
- 2 работницы красят в красный цвет.
- 3 работницы красят в зелёный цвет.
- Все работницы имеют одинаковую производительность, то есть каждая окрашивает одинаковое количество игрушек.
- В итоге все игрушки перемешаны.
- Нужно оценить вероятность того, что в случайной выборке из 600 игрушек количество красных игрушек окажется в диапазоне от 228 до 264 включительно.
1. Анализ ситуации
Поскольку у всех работниц одинаковая производительность, вероятность того, что выбранная игрушка окажется красной, равна доле красных работниц в общем числе. Иными словами:
[
P(\text{игрушка красная}) = \frac{\text{число красных работниц}}{\text{общее число работниц}} = \frac{2}{5} = 0.4
]
и вероятность, что игрушка зелёная:
[
P(\text{игрушка зелёная}) = 1 - 0.4 = 0.6
]
2. Модель распределения
Частое применение модели для таких ситуаций — биномиальное распределение, если мы выбираем игрушки независимо и вероятность "успеха" (например, цвет — красный) равна ( p=0.4 ).
При этом общая выборка из 600 игрушек наблюдается как сумма нескольких независимых испытаний.
Обозначим:
- ( X ) — количество красных игрушек в выборке из 600 штук.
- Тогда ( X \sim \text{Binomial}(n=600, p=0.4)).
3. Оценка вероятности через нормальное приближение
Так как ( n=600 ) достаточно большое, используем приближение биномиального распределения к нормальному распределению:
[
X \sim N(\mu, \sigma^2)
]
где:
[
\mu = np = 600 \times 0.4 = 240
]
[
\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{600 \times 0.4 \times 0.6} \approx \sqrt{144} = 12
]
Учтём непрерывность при вычислениях:
Для оценки вероятности того, что ( X ) попадёт в диапазон от 228 до 264 включительно, используем условные границы с поправкой на непрерывное распределение:
[
P(228 \leq X \leq 264) \approx P\left(\frac{228 - 0.5 - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{264 + 0.5 - \mu}{\sigma}\right)
]
где ( Z \sim N(0,1) ).
Вычислим границы:
[
Z_1 = \frac{228 - 0.5 - 240}{12} = \frac{-12.5}{12} \approx -1.04
]
[
Z_2 = \frac{264 + 0.5 - 240}{12} = \frac{24.5}{12} \approx 2.04
]
4. Найти вероятность по таблице стандартного нормального распределения
Используем значение стандартного нормального распределения:
- ( \Phi(-1.04) \approx 0.149 )
- ( \Phi(2.04) \approx 0.9798 )
Тогда вероятность:
[
P(228 \leq X \leq 264) \approx \Phi(2.04) - \Phi(-1.04) \approx 0.9798 - 0.149 = 0.8308
]
Ответ — примерно 83.1%.
Итог:
Вероятность того, что в случайной выборке из 600 игрушек окажется от 228 до 264 красных — примерно 83%.
Если вам нужны более точные расчёты или есть вопросы по разборам, скажите!
