пять работниц окрашивают одинаковые по форме и размерам игрушки двое из них производит окраску в красный цвет и три в зелёный производительность труда работниц одинаковая…

Рассмотрим задачу подробнее.

Дано:

• 5 работниц, каждая окрашивает игрушки.
• 2 работницы красят в красный цвет.
• 3 работницы красят в зелёный цвет.
• Все работницы имеют одинаковую производительность, то есть каждая окрашивает одинаковое количество игрушек.
• В итоге все игрушки перемешаны.
• Нужно оценить вероятность того, что в случайной выборке из 600 игрушек количество красных игрушек окажется в диапазоне от 228 до 264 включительно.

1. Анализ ситуации

Поскольку у всех работниц одинаковая производительность, вероятность того, что выбранная игрушка окажется красной, равна доле красных работниц в общем числе. Иными словами:

\[ P(\text{игрушка красная}) = \frac{\text{число красных работниц}}{\text{общее число работниц}} = \frac{2}{5} = 0.4 \]

и вероятность, что игрушка зелёная:

\[ P(\text{игрушка зелёная}) = 1 - 0.4 = 0.6 \]

2. Модель распределения

Частое применение модели для таких ситуаций — биномиальное распределение, если мы выбираем игрушки независимо и вероятность "успеха" (например, цвет — красный) равна \( p=0.4 \).

При этом общая выборка из 600 игрушек наблюдается как сумма нескольких независимых испытаний.

Обозначим:

• \( X \) — количество красных игрушек в выборке из 600 штук.
• Тогда \( X \sim \text{Binomial}(n=600, p=0.4)\).

3. Оценка вероятности через нормальное приближение

Так как \( n=600 \) достаточно большое, используем приближение биномиального распределения к нормальному распределению:

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \] где:

\[ \mu = np = 600 \times 0.4 = 240 \] \[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{600 \times 0.4 \times 0.6} \approx \sqrt{144} = 12 \]

Учтём непрерывность при вычислениях:

Для оценки вероятности того, что \( X \) попадёт в диапазон от 228 до 264 включительно, используем условные границы с поправкой на непрерывное распределение:

\[ P(228 \leq X \leq 264) \approx P\left(\frac{228 - 0.5 - \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{264 + 0.5 - \mu}{\sigma}\right) \] где \( Z \sim N(0,1) \).

Вычислим границы:

\[ Z_1 = \frac{228 - 0.5 - 240}{12} = \frac{-12.5}{12} \approx -1.04 \] \[ Z_2 = \frac{264 + 0.5 - 240}{12} = \frac{24.5}{12} \approx 2.04 \]

4. Найти вероятность по таблице стандартного нормального распределения

Используем значение стандартного нормального распределения:

• \( \Phi(-1.04) \approx 0.149 \)
• \( \Phi(2.04) \approx 0.9798 \)

Тогда вероятность:

\[ P(228 \leq X \leq 264) \approx \Phi(2.04) - \Phi(-1.04) \approx 0.9798 - 0.149 = 0.8308 \]

Ответ — примерно 83.1%.

Итог:

Вероятность того, что в случайной выборке из 600 игрушек окажется от 228 до 264 красных — примерно 83%.

Если вам нужны более точные расчёты или есть вопросы по разборам, скажите!