Найти закон распределения дискретной случайной величины если x1 p1 x1 0,7x2 p2 mx = 3,3 dx = 0,21

Здравствуйте! Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом. Поскольку цель — "Понять", я постараюсь максимально подробно объяснить каждый этап. --- ### Постановка задачи Дана дискретная случайная величина с возможными значениями \( x_1 \) и \( x_2 \), вероятностями \( p_1 \) и \( p_2 \). Из условия есть следующие данные: - \( x_1 \) и \( p_1 \) — неизвестны, но связаны с \( x_2 \) и \( p_2 \), - \( x_1 = 0,7 x_2 \), - \(\text{mx} = 3,3\), - \(\text{dx} = 0,21\). Где: - \( \text{mx} \) — математическое ожидание, - \( \text{dx} \) — дисперсия. --- ### Шаг 1. Запишем известные связи Из условия: \[ x_1 = 0,7 x_2, \] а также, что сумма вероятностей: \[ p_1 + p_2 = 1. \] Вероятности связаны с математическим ожиданием: \[ \text{mx} = E[X] = x_1 p_1 + x_2 p_2. \] ### Шаг 2: Выразим вероятности через \( p_2 \) Обозначим: \[ p_2 = p, \] тогда: \[ p_1 = 1 - p. \] ### Шаг 3: Запишем математическое ожидание Подставим значения: \[ \text{mx} = x_1 p_1 + x_2 p_2 = (0,7 x_2)(1 - p) + x_2 p. \] Раскроем скобки: \[ = 0,7 x_2 (1 - p) + x_2 p = 0,7 x_2 - 0,7 x_2 p + x_2 p. \] Объединим члены: \[ \text{mx} = 0,7 x_2 + p (x_2 - 0,7 x_2) = 0,7 x_2 + p \cdot 0,3 x_2. \] Выразим: \[ 3,3 = 0,7 x_2 + 0,3 x_2 p. \] --- ### Шаг 4: Найдём \( p \) Из этого уравнения выразим \( p \): \[ 0,3 x_2 p = 3,3 - 0,7 x_2, \] \[ p = \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2}. \] --- ### Шаг 5: Используем дисперсию Дисперсия: \[ \text{dx} = D[X] = E[X^2] - (E[X])^2. \] Нам даны: \[ \text{dx} = 0,21, \] а Математическое ожидание уже известно — 3,3. Тогда: \[ E[X^2] = \text{dx} + (\text{mx})^2 = 0,21 + (3,3)^2. \] Посчитаем: \[ (3,3)^2 = 10,89, \] следовательно, \[ E[X^2] = 0,21 + 10,89 = 11,10. \] --- ### Шаг 6: Запишем \( E[X^2] \) Для дискретной величины: \[ E[X^2] = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2. \] Подставим: \[ x_1 = 0,7 x_2, \] \[ E[X^2] = (0,7 x_2)^2 (1 - p) + x_2^2 p. \] Посчитаем квадраты: \[ (0,7 x_2)^2 = 0,49 x_2^2, \] тогда: \[ E[X^2] = 0,49 x_2^2 (1 - p) + x_2^2 p. \] Раскроем скобки: \[ E[X^2] = 0,49 x_2^2 - 0,49 x_2^2 p + p x_2^2 = 0,49 x_2^2 + p x_2^2 (1 - 0,49) = 0,49 x_2^2 + 0,51 p x_2^2. \] Известно, что \( E[X^2] = 11,10 \), следовательно: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 0,51 p x_2^2. \] Подставим выражение для \( p \), полученное ранее: \[ p = \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2}. \] --- ### Шаг 7: Решим полученное уравнение Подставим \( p \): \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 0,51 x_2^2 \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2}. \] Обратим внимание: \[ 0,51 x_2^2 \times \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2} = \frac{0,51 x_2^2 (3,3 - 0,7 x_2)}{0,3 x_2}. \] Упростим: \[ = \frac{0,51 x_2 (3,3 - 0,7 x_2)}{0,3}. \] Теперь упростим: \[ = \frac{0,51}{0,3} x_2 (3,3 - 0,7 x_2) = 1,7 x_2 (3,3 - 0,7 x_2), \] поскольку \( 0,51 / 0,3 = 1,7 \). Тогда уравнение: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 1,7 x_2 (3,3 - 0,7 x_2). \] Раскроем скобки: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 1,7 x_2 \times 3,3 - 1,7 x_2 \times 0,7 x_2. \] Посчитаем: \[ 1,7 \times 3,3 = 5,61, \] \[ 1,7 \times 0,7 = 1,19. \] Значит: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 5,61 x_2 - 1,19 x_2^2. \] Объединим подобные члены: \[ (0,49 x_2^2 - 1,19 x_2^2) + 5,61 x_2 = -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2. \] Перепишем уравнение: \[ 11,10 = -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2. \] Перенесем всё в левую часть: \[ -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2 - 11,10 = 0. \] --- ### Шаг 8: Решение квадратного уравнения Обозначим: \[ a = -0,70, \] \[ b = 5,61, \] \[ c = -11,10. \] Решим уравнение: \[ a x_2^2 + b x_2 + c = 0, \] то есть: \[ -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2 - 11,10 = 0. \] Для удобства умножим всё уравнение на -1: \[ 0,70 x_2^2 - 5,61 x_2 + 11,10 = 0. \] Теперь применим формулу квадратного уравнения: \[ x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}. \] Подставим значения: \[ a = 0,70, \] \[ b = -5,61, \] \[ c = 11,10. \] Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4 a c = (-5,61)^2 - 4 \times 0,70 \times 11,10. \] Рассчитаем: \[ (-5,61)^2 = 31,4721, \] \[ 4 \times 0,70 \times 11,10 = 4 \times 7,77 = 31,08, \] поэтому: \[ D = 31,4721 - 31,08 = 0,3921. \] Дискриминант положителен, значит два решения: \[ x_2 = \frac{5,61 \pm \sqrt{0,3921}}{2 \times 0,70}. \] Посчитаем корень: \[ \sqrt{0,3921} \approx 0,6259. \] Тогда: \[ x_2 = \frac{5,61 \pm 0,6259}{1,4}. \] Рассчитаем оба варианта: 1. \( x_2 = \frac{5,61 + 0,6259}{1,4} = \frac{6,2359}{1,4} \approx 4,455 \). 2. \( x_2 = \frac{5,61 - 0,6259}{1,4} = \frac{4,9841}{1,4} \approx 3,56 \). --- ### Итоговые значения: \[ x_2 \approx 3,56 \quad \text{или} \quad 4,455. \] Теперь найдём соответствующие \( p \). ### Шаг 9: Находим \( p \) для каждого варианта Версия 1: \( x_2 \approx 3,56 \). \[ p = \frac{3,3 - 0,7 \times 3,56}{0,3 \times 3,56} \approx \frac{3,3 - 2,492}{1,068} \approx \frac{0,808}{1,068} \approx 0,756. \] Версия 2: \( x_2 \approx 4,455 \). \[ p = \frac{3,3 - 0,7 \times 4,455}{0,3 \times 4,455} \approx \frac{3,3 - 3,1185}{1,3365} \approx \frac{0,1815}{1,3365} \approx 0,136. \] --- ### **Ответ:** **Первый вариант:** \[ x_2 \approx 3,56, \quad p_2 \approx 0,756, \] \[ x_1 = 0,7 \times 3,56 \approx 2,49, \quad p_1 = 1 - 0,756 \approx 0,244, \] распределение: - \( P(X = 2,49) \approx 0,244 \), - \( P(X = 3,56) \approx 0,756 \). **Второй вариант:** \[ x_2 \approx 4,455, \quad p_2 \approx 0,136, \] \[ x_1 \approx 0,7 \times 4,455 \approx 3,12, \quad p_1 \approx 0,864, \] распределение: - \( P(X \approx 3,12) \approx 0,864 \), - \( P(X \approx 4,455) \approx 0,136 \). --- Если нужны дополнительные разъяснения или конкретное решение по какому-то из вариантов — скажите!