найти закон распределения дискретной случайной величины если x1 p1 x1 0,7x2 p2 mx = 3,3 dx = 0,21
Здравствуйте! Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом. Поскольку цель — "Понять", я постараюсь максимально подробно объяснить каждый этап.
Постановка задачи
Дана дискретная случайная величина с возможными значениями \( x_1 \) и \( x_2 \), вероятностями \( p_1 \) и \( p_2 \). Из условия есть следующие данные:
- \( x_1 \) и \( p_1 \) — неизвестны, но связаны с \( x_2 \) и \( p_2 \),
- \( x_1 = 0,7 x_2 \),
- \(\text{mx} = 3,3\),
- \(\text{dx} = 0,21\).
Где:
- \( \text{mx} \) — математическое ожидание,
- \( \text{dx} \) — дисперсия.
Шаг 1. Запишем известные связи
Из условия: \[ x_1 = 0,7 x_2, \] а также, что сумма вероятностей: \[ p_1 + p_2 = 1. \]
Вероятности связаны с математическим ожиданием: \[ \text{mx} = E[X] = x_1 p_1 + x_2 p_2. \]
Шаг 2: Выразим вероятности через \( p_2 \)
Обозначим: \[ p_2 = p, \] тогда: \[ p_1 = 1 - p. \]
Шаг 3: Запишем математическое ожидание
Подставим значения: \[ \text{mx} = x_1 p_1 + x_2 p_2 = (0,7 x_2)(1 - p) + x_2 p. \]
Раскроем скобки: \[ = 0,7 x_2 (1 - p) + x_2 p = 0,7 x_2 - 0,7 x_2 p + x_2 p. \]
Объединим члены: \[ \text{mx} = 0,7 x_2 + p (x_2 - 0,7 x_2) = 0,7 x_2 + p \cdot 0,3 x_2. \]
Выразим: \[ 3,3 = 0,7 x_2 + 0,3 x_2 p. \]
Шаг 4: Найдём \( p \)
Из этого уравнения выразим \( p \): \[ 0,3 x_2 p = 3,3 - 0,7 x_2, \] \[ p = \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2}. \]
Шаг 5: Используем дисперсию
Дисперсия: \[ \text{dx} = D[X] = E[X^2] - (E[X])^2. \]
Нам даны: \[ \text{dx} = 0,21, \]
а Математическое ожидание уже известно — 3,3. Тогда: \[ E[X^2] = \text{dx} + (\text{mx})^2 = 0,21 + (3,3)^2. \]
Посчитаем: \[ (3,3)^2 = 10,89, \] следовательно, \[ E[X^2] = 0,21 + 10,89 = 11,10. \]
Шаг 6: Запишем \( E[X^2] \)
Для дискретной величины: \[ E[X^2] = x_1^2 p_1 + x_2^2 p_2. \] Подставим: \[ x_1 = 0,7 x_2, \] \[ E[X^2] = (0,7 x_2)^2 (1 - p) + x_2^2 p. \]
Посчитаем квадраты: \[ (0,7 x_2)^2 = 0,49 x_2^2, \] тогда: \[ E[X^2] = 0,49 x_2^2 (1 - p) + x_2^2 p. \]
Раскроем скобки: \[ E[X^2] = 0,49 x_2^2 - 0,49 x_2^2 p + p x_2^2 = 0,49 x_2^2 + p x_2^2 (1 - 0,49) = 0,49 x_2^2 + 0,51 p x_2^2. \]
Известно, что \( E[X^2] = 11,10 \), следовательно: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 0,51 p x_2^2. \]
Подставим выражение для \( p \), полученное ранее: \[ p = \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2}. \]
Шаг 7: Решим полученное уравнение
Подставим \( p \): \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 0,51 x_2^2 \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2}. \]
Обратим внимание: \[ 0,51 x_2^2 \times \frac{3,3 - 0,7 x_2}{0,3 x_2} = \frac{0,51 x_2^2 (3,3 - 0,7 x_2)}{0,3 x_2}. \]
Упростим: \[ = \frac{0,51 x_2 (3,3 - 0,7 x_2)}{0,3}. \]
Теперь упростим: \[ = \frac{0,51}{0,3} x_2 (3,3 - 0,7 x_2) = 1,7 x_2 (3,3 - 0,7 x_2), \] поскольку \( 0,51 / 0,3 = 1,7 \).
Тогда уравнение: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 1,7 x_2 (3,3 - 0,7 x_2). \]
Раскроем скобки: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 1,7 x_2 \times 3,3 - 1,7 x_2 \times 0,7 x_2. \]
Посчитаем: \[ 1,7 \times 3,3 = 5,61, \] \[ 1,7 \times 0,7 = 1,19. \]
Значит: \[ 11,10 = 0,49 x_2^2 + 5,61 x_2 - 1,19 x_2^2. \]
Объединим подобные члены: \[ (0,49 x_2^2 - 1,19 x_2^2) + 5,61 x_2 = -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2. \]
Перепишем уравнение: \[ 11,10 = -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2. \]
Перенесем всё в левую часть: \[ -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2 - 11,10 = 0. \]
Шаг 8: Решение квадратного уравнения
Обозначим: \[ a = -0,70, \] \[ b = 5,61, \] \[ c = -11,10. \]
Решим уравнение: \[ a x_2^2 + b x_2 + c = 0, \] то есть: \[ -0,70 x_2^2 + 5,61 x_2 - 11,10 = 0. \]
Для удобства умножим всё уравнение на -1: \[ 0,70 x_2^2 - 5,61 x_2 + 11,10 = 0. \]
Теперь применим формулу квадратного уравнения: \[ x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2a}. \]
Подставим значения: \[ a = 0,70, \] \[ b = -5,61, \] \[ c = 11,10. \]
Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4 a c = (-5,61)^2 - 4 \times 0,70 \times 11,10. \]
Рассчитаем: \[ (-5,61)^2 = 31,4721, \] \[ 4 \times 0,70 \times 11,10 = 4 \times 7,77 = 31,08, \] поэтому: \[ D = 31,4721 - 31,08 = 0,3921. \]
Дискриминант положителен, значит два решения:
\[ x_2 = \frac{5,61 \pm \sqrt{0,3921}}{2 \times 0,70}. \]
Посчитаем корень: \[ \sqrt{0,3921} \approx 0,6259. \]
Тогда: \[ x_2 = \frac{5,61 \pm 0,6259}{1,4}. \]
Рассчитаем оба варианта:
- \( x_2 = \frac{5,61 + 0,6259}{1,4} = \frac{6,2359}{1,4} \approx 4,455 \).
- \( x_2 = \frac{5,61 - 0,6259}{1,4} = \frac{4,9841}{1,4} \approx 3,56 \).
Итоговые значения:
\[ x_2 \approx 3,56 \quad \text{или} \quad 4,455. \]
Теперь найдём соответствующие \( p \).
Шаг 9: Находим \( p \) для каждого варианта
Версия 1: \( x_2 \approx 3,56 \).
\[ p = \frac{3,3 - 0,7 \times 3,56}{0,3 \times 3,56} \approx \frac{3,3 - 2,492}{1,068} \approx \frac{0,808}{1,068} \approx 0,756. \]
Версия 2: \( x_2 \approx 4,455 \).
\[ p = \frac{3,3 - 0,7 \times 4,455}{0,3 \times 4,455} \approx \frac{3,3 - 3,1185}{1,3365} \approx \frac{0,1815}{1,3365} \approx 0,136. \]
Ответ:
Первый вариант:
\[ x_2 \approx 3,56, \quad p_2 \approx 0,756, \] \[ x_1 = 0,7 \times 3,56 \approx 2,49, \quad p_1 = 1 - 0,756 \approx 0,244, \] распределение:
- \( P(X = 2,49) \approx 0,244 \),
- \( P(X = 3,56) \approx 0,756 \).
Второй вариант:
\[ x_2 \approx 4,455, \quad p_2 \approx 0,136, \] \[ x_1 \approx 0,7 \times 4,455 \approx 3,12, \quad p_1 \approx 0,864, \] распределение:
- \( P(X \approx 3,12) \approx 0,864 \),
- \( P(X \approx 4,455) \approx 0,136 \).
Если нужны дополнительные разъяснения или конкретное решение по какому-то из вариантов — скажите!
