3sin²x+7cosx-3=0
Давайте подробно решим уравнение 3sin²x + 7cosx - 3 = 0, учитывая, что цель — понять процесс.
Шаг 1. Используем тригонометрическую идентичность
Значение sin²x можно выразить через косинус с помощью известной формулы:
\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]
Подставим это в исходное уравнение:
\[ 3 (1 - \cos^2 x) + 7 \cos x - 3 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 3 - 3 \cos^2 x + 7 \cos x - 3 = 0 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ (3 - 3) + 7 \cos x - 3 \cos^2 x = 0 \] \[ 0 + 7 \cos x - 3 \cos^2 x = 0 \]
Или:
\[ -3 \cos^2 x + 7 \cos x = 0 \]
Шаг 2. Вынесем общий множитель
Факторизуем уравнение по \(\cos x\):
\[ \cos x ( -3 \cos x + 7 ) = 0 \]
Это произведение равно нулю, значит хотя бы один множитель равен нулю:
- \(\cos x = 0\)
- \(-3 \cos x + 7 = 0\)
Шаг 3. Решаем каждое уравнение отдельно
Уравнение 1: \(\cos x = 0\)
Значение косинуса равно нулю в точках:
\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
То есть для всех целых \(n\):
\[ x = \frac{\pi}{2} + n \pi \]
Уравнение 2: \(-3 \cos x + 7 = 0\)
Решим относительно \(\cos x\):
\[ -3 \cos x = -7 \] \[ \cos x = \frac{7}{3} \]
Но \(\cos x\) по определениям и свойствам тригонометрической функции принимает значения в диапазоне \([-1, 1]\). Так как \(\frac{7}{3} \approx 2.33\), что выходит за этот диапазон, данное уравнение решений не имеет.
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{2} + n \pi, \quad n \in \mathbb{Z} } \]
Это все решения исходного уравнения.
Если нужно, я могу помочь вам найти конкретные значения на определённом промежутке или подробнее объяснить любой шаг.
