3sin²x+7cosx-3=0
Рассмотрим задачу:
\[ 3\sin^2 x + 7 \cos x - 3 = 0 \]
Цель — понять решение подробно.
Шаг 1: Использование основного тригонометрического тождества
Известно, что
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
отсюда
\[ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \]
Подставим это в нашу уравнение:
\[ 3(1 - \cos^2 x) + 7 \cos x - 3 = 0 \]
Шаг 2: Раскроем скобки и упростим
\[ 3 - 3 \cos^2 x + 7 \cos x - 3 = 0 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ (3 - 3) + 7 \cos x - 3 \cos^2 x = 0 \]
\[ 0 + 7 \cos x - 3 \cos^2 x = 0 \]
или
\[ -3 \cos^2 x + 7 \cos x = 0 \]
Шаг 3: Вынесем общий множитель
Обозначим \(\cos x = t\), тогда получим уравнение:
\[ -3t^2 + 7t = 0 \]
или
\[ t(-3t + 7) = 0 \]
Отсюда получаем два случая:
- \( t = 0 \)
- \(-3t + 7 = 0 \)
Шаг 4: Пусть \( t = \cos x \), решим каждое уравнение
Первый случай:
\[ \cos x = 0 \]
Решение:
\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Второй случай:
\[ -3t + 7 = 0 \Rightarrow 3t = 7 \Rightarrow t = \frac{7}{3} \]
Однако \(\cos x\) — это значение, находящееся в пределах \([-1, 1]\).
Поскольку \(\frac{7}{3} \approx 2.33\), это невозможно.
Значит, решений, соответствующих этому, не будет.
Итог
Все решения связаны с \(\cos x = 0\):
\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ:
\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужно проверить значения в определенных интервалах — я помогу!
