f(x)=5x⁴-2/√x
Рассмотрим функцию:
\[ f(x) = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} \]
Цель — понять, что представляет собой эта функция и как её анализировать.
1. Разбор функции и её компоненты
- Первая часть: \( 5x^4 \) — многочлен степени 4.
- Вторая часть: \( - \frac{2}{\sqrt{x}} \) — дробь, где в знаменателе корень из \( x \).
Обратим внимание на то, что условие определения функции — \( x > 0 \), потому что:
- \( \sqrt{x} \) существует только для положительных \( x \).
- Деление на ноль недопустимо.
2. Перепишем функцию для удобства
Можно записать функцию так:
\[ f(x) = 5x^4 - 2x^{-\frac{1}{2}} \]
Потому что:
\[ \frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-\frac{1}{2}} \]
Это помогает при дифференцировании и анализе поведения.
3. Анализ поведения функции при больших и малых значениях \( x \)
- При \( x \to 0^+ \):
\[ x^{-\frac{1}{2}} \to +\infty \quad \Rightarrow \quad - 2 x^{-\frac{1}{2}} \to -\infty \]
Аналогично, первая часть \( 5x^4 \to 0 \).
Итак, при очень маленьких \( x \):
\[ f(x) \to -\infty \]
- При больших \( x \to +\infty \):
\[ 5x^4 \to +\infty, \quad - 2x^{-\frac{1}{2}} \to 0 \]
Следовательно:
\[ f(x) \to +\infty \]
Итог: функция убывает очень резко при маленьких \( x \), и растёт при больших \( x \).
4. Нахождение критических точек (поиск экстремумов)
Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, вычислим её производную:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5x^4 - 2x^{-\frac{1}{2}} \right) \]
Поскольку:
\[ \frac{d}{dx} \left( 5x^4 \right) = 20x^3 \] \[ \frac{d}{dx} \left( -2x^{-\frac{1}{2}} \right) = -2 \times \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-\frac{3}{2}} = +1 \times x^{-\frac{3}{2}} \]
Обратите внимание, что:
\[ \frac{d}{dx} (x^{n}) = n x^{n-1} \]
Итак,
\[ f'(x) = 20x^3 + x^{-\frac{3}{2}} \]
или в более аккуратной форме:
\[ f'(x) = 20x^3 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \]
5. Анализ производной
Знак \( f'(x) \):
- \( 20x^3 > 0 \) при \( x > 0 \).
- \( \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} > 0 \) для \( x > 0 \).
Значит,
\[ f'(x) = 20x^3 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} > 0 \]
при всех \( x > 0 \).
Это говорит о том, что функция строго возрастает на всей области определения.
6. Итог
- Область определения: \( x > 0 \).
- Поведение при \( x \to 0^+ \): \( f(x) \to -\infty \).
- Поведение при \( x \to +\infty \): \( f(x) \to +\infty \).
- Производная: положительна для всех \( x > 0 \) — функция возрастает на всей области.
Ответ:
Функция \( f(x) = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} \) определена для всех \( x > 0 \), убывает при приближении к нулю и растёт при увеличении \( x \). Она не имеет экстремумов, так как производная положительна на всей области. При этом она стремится к минус бесконечности при \( x \to 0^+ \) и к бесконечности при \( x \to +\infty \).
