F(x)=5x⁴-2/√x

Рассмотрим функцию: \[ f(x) = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} \] Цель — понять, что представляет собой эта функция и как её анализировать. --- ### 1. Разбор функции и её компоненты - Первая часть: \( 5x^4 \) — многочлен степени 4. - Вторая часть: \( - \frac{2}{\sqrt{x}} \) — дробь, где в знаменателе корень из \( x \). Обратим внимание на то, что **условие определения функции** — \( x > 0 \), потому что: - \( \sqrt{x} \) существует только для положительных \( x \). - Деление на ноль недопустимо. --- ### 2. Перепишем функцию для удобства Можно записать функцию так: \[ f(x) = 5x^4 - 2x^{-\frac{1}{2}} \] Потому что: \[ \frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-\frac{1}{2}} \] Это помогает при дифференцировании и анализе поведения. --- ### 3. Анализ поведения функции при больших и малых значениях \( x \) - **При \( x \to 0^+ \):** \[ x^{-\frac{1}{2}} \to +\infty \quad \Rightarrow \quad - 2 x^{-\frac{1}{2}} \to -\infty \] Аналогично, первая часть \( 5x^4 \to 0 \). Итак, при очень маленьких \( x \): \[ f(x) \to -\infty \] - **При больших \( x \to +\infty \):** \[ 5x^4 \to +\infty, \quad - 2x^{-\frac{1}{2}} \to 0 \] Следовательно: \[ f(x) \to +\infty \] ### Итог: функция убывает очень резко при маленьких \( x \), и растёт при больших \( x \). --- ### 4. Нахождение критических точек (поиск экстремумов) Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, вычислим её производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 5x^4 - 2x^{-\frac{1}{2}} \right) \] Поскольку: \[ \frac{d}{dx} \left( 5x^4 \right) = 20x^3 \] \[ \frac{d}{dx} \left( -2x^{-\frac{1}{2}} \right) = -2 \times \left( -\frac{1}{2} \right) x^{-\frac{3}{2}} = +1 \times x^{-\frac{3}{2}} \] Обратите внимание, что: \[ \frac{d}{dx} (x^{n}) = n x^{n-1} \] Итак, \[ f'(x) = 20x^3 + x^{-\frac{3}{2}} \] или в более аккуратной форме: \[ f'(x) = 20x^3 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \] --- ### 5. Анализ производной - **Знак \( f'(x) \):** - \( 20x^3 > 0 \) при \( x > 0 \). - \( \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} > 0 \) для \( x > 0 \). Значит, \[ f'(x) = 20x^3 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} > 0 \] при всех \( x > 0 \). Это говорит о том, что **функция строго возрастает на всей области определения**. --- ### 6. Итог - **Область определения:** \( x > 0 \). - **Поведение при \( x \to 0^+ \):** \( f(x) \to -\infty \). - **Поведение при \( x \to +\infty \):** \( f(x) \to +\infty \). - **Производная:** положительна для всех \( x > 0 \) — функция возрастает на всей области. --- ### **Ответ:** Функция \( f(x) = 5x^4 - \frac{2}{\sqrt{x}} \) определена для всех \( x > 0 \), убывает при приближении к нулю и растёт при увеличении \( x \). Она не имеет экстремумов, так как производная положительна на всей области. При этом она стремится к минус бесконечности при \( x \to 0^+ \) и к бесконечности при \( x \to +\infty \).