В окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так что угол АОВ = 80.Длина меньшей дуги АВ равна 58.Найдите длину большей дуги АВ

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждое действие. **Дано:** - В окружности с центром в точке O отмечены точки A и B. - Угол при центре ∠AOB = 80°. - Длина меньшей дуги АВ = 58. - Надо найти длину большей дуги АВ. --- ### Шаг 1. Определить соотношение между дугами и углом при центре В окружности угол, образованный радиусами, которые соединяют центр с точками A и B, равен половине дуги, которую он задел: \[ \angle AOB = 2 \cdot \text{дуга} \, AB \] Но внимание! В этом случае, по условию, угол при центре — ∠AOB = 80°. Тогда: \[ \text{Меньшая дуга } AB = \text{дуга, соответствующая } \angle AOB \] Также, поскольку ∠AOB = 80°, дуга между A и B, образующая меньшую дугу, составляет: \[ \text{Меньшая дуга } AB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \] Но у нас есть ещё длина меньшей дуги — 58. Значит, длина дуги АВ, равная 58, соответствует дуге с measure 40°. ### Шаг 2. Определить длину окружности и радиус Обозначим: - \( C \) — длина окружности, - \( R \) — радиус окружности. Длина дуги \( l \) связана с её центральным углом \( \theta \) (в градусах) формулой: \[ l = \frac{\theta}{360^\circ} \times C \] или, \[ l = R \times \text{длина дуги в радианах} \] Для перевода угла из градусов в радианы используем: \[ \text{радианный угол} = \frac{\pi}{180} \times \theta \] --- ### Шаг 3. Использовать известную длину дуги для нахождения радиуса Дано, что длина меньшей дуги — 58 и соответствующий ей центральный угол — 40°, тогда: \[ 58 = R \times \frac{40^\circ \times \pi/180}{1} = R \times \frac{40 \times \pi}{180} \] Упростим выражение: \[ 58 = R \times \frac{40 \pi}{180} = R \times \frac{2 \pi}{9} \] Следовательно, \[ R = \frac{58 \times 9}{2 \pi} = \frac{522}{2 \pi} = \frac{261}{\pi} \] --- ### Шаг 4. Вычислить длину большей дуги Зная радиус \( R = \frac{261}{\pi} \), найдем длину большей дуги. - Центрический угол, соответствующий большей дуге, равен: \[ \text{угол} = 360^\circ - 40^\circ = 320^\circ \] - Длина дуги равна: \[ l_{большая} = R \times \frac{320^\circ \times \pi/180}{1} \] Подставляем \( R \): \[ l_{большая} = \frac{261}{\pi} \times \frac{320 \pi}{180} \] Упростим: \[ l_{большая} = 261 \times \frac{320}{180} = 261 \times \frac{32}{18} = 261 \times \frac{16}{9} \] Произведем вычисление: \[ l_{большая} = \frac{261 \times 16}{9} = \frac{4176}{9} = 464 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{464} \] Длина большей дуги АВ равна **464**. --- Если есть вопросы по шагам или нужно более подробное объяснение — спрашивайте!