Решение

Рассмотрим задачу: \( y = \sqrt{x} - 5x^2 \) Наша цель — понять, как выглядит эта функция, найти её область определения, выяснить её особенности и, возможно, построить график. ### Шаг 1. Область определения функции Функция содержит корень \(\sqrt{x}\), он определён при: \[ x \geq 0 \] Так как в подкоренной разности больше никаких ограничений, то область определения: \[ \boxed{x \geq 0} \] ### Шаг 2. Исследование функции Нужно понять, как ведёт себя функция на области определения. ### Шаг 3. Производная функции Чтобы найти экстремумы и понять поведение функции, найдем её первую производную. \[ y = \sqrt{x} - 5x^2 \] Производная: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x \] Обратите внимание, что при \( x = 0 \) производная не определена, так как деление на ноль. Но поведение функции при \( x \to 0^+ \) важно. ### Шаг 4. Нахождение критических точек Рассмотрим уравнение для нахождения точек экстремума: \[ y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x}} - 10x = 0 \] Перенесем: \[ \frac{1}{2\sqrt{x}} = 10x \] Умножим обе части на \(2\sqrt{x}\): \[ 1 = 20x \sqrt{x} \] Обозначим \( t = \sqrt{x} \), тогда \( x = t^2 \), и уравнение принимает вид: \[ 1 = 20 t^3 \] Отсюда: \[ t^3 = \frac{1}{20} \Rightarrow t = \sqrt[3]{\frac{1}{20}} \] Следовательно: \[ x = t^2 = \left( \sqrt[3]{\frac{1}{20}} \right)^2 \] Обозначим: \[ x_0 = \left( \sqrt[3]{\frac{1}{20}} \right)^2 \] Это критическая точка. ### Шаг 5. Значение функции в критической точке Подставим \( x_0 \) обратно в функцию: \[ y(x_0) = \sqrt{x_0} - 5 x_0^2 \] Поскольку точное значение не очень важно для общего понимания, можем оставить его в виде: \[ y(x_0) = t - 5 t^4, \quad \text{где} \ t = \sqrt[3]{\frac{1}{20}} \] ### Шаг 6. Поведение функции - При \( x \to 0^+ \): \[ y \to 0 - 0 = 0 \] - При увеличении \(x\), первая часть \( \sqrt{x} \) растёт медленнее, чем быстро растёт вторая часть \( 5x^2 \), которая имеет знак минуса. - В критической точке функция достигает экстремума (максимума или минимума). - При очень больших \(x\) \( y \to -\infty \), так как доминирует \( -5x^2 \). ### Итог: - Область определения: \( x \geq 0 \) - В области есть критическая точка при \( x = \left( \sqrt[3]{\frac{1}{20}} \right)^2 \), где достигается экстремум. - Функция убывает после этой точки к минус бесконечности. - При \( x \to 0^+ \), \( y \to 0 \). Если нужно построить график, можно указать эти особенности и точки. --- Если потребуется более подробное решение или анализ, скажите!